so matheolympiade
kein plan wie irgendeine der aufgaben hier geht
vllt. weiß jemand der was älter ist oder so wie man das macht wenigstens eine der aufgaben.

--------------

1. Aus der Menge M der natürlichen Zahlen von 1 bis 120 wählt man 13 Zahlen, welche paarweise verschieden sind, aus.

a) Zeigen Sie: Unter den gewählten Zahlen befinden sich mindestens zwei, die sich um höchstens 9 unterscheiden.

b) Zeigen Sie: Unter den gewählten Zahlen befinden sich mindestens zwei, deren Differenz ein Vielfaches von 10 ist.

c) Kann man bei b) mit weniger als 13 auszuwählenden Zahlen auskommnen?


2. Wie viele fünfstellige natürliche Zahlen gibt es, deren letzte Ziffer eine 4 ist und die durch 6 teilbar sind?

Hinweis: Eine natürliche Zahl heißt n-stellig, wenn sie mit n Ziffern im dekadischen System dargestellt werden kann, wobei die 1. Ziffer ungleich null ist.

3. Die Felder eines Quadrates aus 4 x 4 Teilquadraten sollen mit je einer von 4 Farben eingefärbt werden. Die Färbung soll so erfolgen, dass bei Drehung des Quadrats um 90°, 180° und 270° um den Quadratmittelpunkt je zwei Felder gleicher Farbe auf zwei Felder gleicher Farbe abgebildet werden; letztgenannte Farbe soll aber voon der erstgenannten verschieden sein.

Wie viele solche Möglichkeiten gibt es? Möglichkeiten, die durch Drehung auseinandern hervorgehen, sollen nicht als verschieden gelten.

4. Peter versucht spitzwinklige Dreiecke zu finden, mit denen er sich ein weiteres Dreieck zusammenlegen lässt. Nach vielen Versuchen meint er: "Mit 4 Dreiecken kann man die Aufgabe lösen, mit weniger als 4 Dreiecken aber nicht." Hat Peter recht?

5. In einer Ebene liegen zwei Strecken. Man zeige, dass es möglich ist, unter ausschließlicher Verwendung von Zirkel und Lineal eine Gerade zu konstruieren, so dass die senkrechten Projektionen der Strecken auf diese Gerade gerade gleich lang sind.

Hinweis: Ist die Projektion ein einzelner Punkt, so ist ihre Länge 0.

6. Es seien x,y reele Zahlen mit y grössergleich 0 und y*(y+1) kleinergleich (x+1)². Zeigen Sie, dass dann y* (y-1) kleinergleich x² gilt.

----------

wäre euch sehr verbunden....

greetz

trial_Master

Also, weiß auch nicht alles, aber:
1.
a)Wenn man aus 120 Zahlen 13 aussuchen soll, ist der maximale Abstand zwischen den Zahlen 120/13= 9,23. Also muß es mindestens zwei Zahlen geben (nach 1 und vor 120), die nicht größer als 9 entfernt sind.

b) Durch die Trennung der paarweise ergibt sich, daß n2 ungleich n1+1 oder n1-1. Daraus folgt, daß zwischen n1 und n13 (anfang und ende) mind. 26 Zahlen liegen müssen. dank unserem Zahlensystem sind von diesen 26 Zahlen mindestens 2 mit gleicher endzahl. (Beispiel: 10 und 20 oder 21 und 31). Die Differenz dieser freien Zahlen liegt immer bei 10 oder einem vielfachen.

2. generell gesehen ist jede Zahl durch 6 teilbar, das ergebnis ist nur eine ungerade zahl (ungleich n), die Zahl selber aber ist n. Also ergibt sich: von 100.000.

Oder:

jede Zahl im Bereich 1 bis 99999, die mit 4 endet und durch 6 teilbar ist: 24..54..84..114..144..174...204..234.. (also gilt n(x)=n(x-1)*30+24). Bedeutet: (99.999-24)/30=3.333

3. KEine Ahnung..

4. Spitzwinklige Dreiecke: Winkel = 90° richtig, oder? (eigentlich rechtwinklig). Dann müssen nur die rechtwinkligen Dreiecke aneinander gelegt werden. Diese werden dann zur Basis des neuen Dreiecks mit 180°. Die anderen Winkel bleiben erhalten und bilden so mit 2 Dreiecken ein neues.

5. ???

6. für y>=0 gilt dann:

y*(y+1)<=(x+1)²
y² +y <= (x+1)²

(Wurzel von y²+y)<= x+1
(Wurzel von y²+y)-1<=x
y²+y-2*(wurzel y²+y)+1<=x

wenn x²>=y*(y-1), dann gilt nach einsetzen:
y²+y-2(wurzel y²+y)+1>=y²-y /-y² +y
2y-2(wurzel y²+y)+1>= 0 /+2(wurzely²+y)
2y+1>= 2*(wurzel y²+y) /potenzieren
4y²+4y+1>= 4*(y²+y)
4y²+4y+1>=4y²+4y /-4y² /-4y
1>=0 q.e.d.

Was zu beweisen wäre (binomische Formeln: (2y+1)²=4y²+2*2y+1

Habe Dir Antwort ins Netz gestellt, hofe, Sie hilft

ja big thx für die viele mühe schonmal, die du dir gemacht hast
kann ich gut gebrauchen die lösungen
würd' mich freuen, wenn noch n' paar mehr antworten hätten
achja und spitzwinklige sind dreiecke die kleiner als 90° sind nicht kleiner gleich