Mathe - Parabeln Kl.11

  • Benötige Hilfe

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  • Mathe - Parabeln Kl.11

    Guten Morgen,

    es geht um eine (Wiederholungs-)Aufgabe (LK Mathe Klasse 11), deren Sinn sich mir nicht ganz erschließt bzw. bei der ich absolut gar keinen Lösungsansatz habe.

    a und b habe ich bereits gelöst, es geht um die c
    === === ===
    Mithilfe einer Scheitelpunktsberechnung erhält man den kleinsten bzw. den größten Funktionswert einer quadratischen Funktion. Damit lassen sich (quadr.) Extremwertaufgaben algebraisch lösen. Hier drei Beispiele:
    [size=-2]
    a) Bestimme unter allen Rechtecken mit gegebenem Umfang u das mit dem größten Flächeninhalt.
    b) Drücke das Quadrat des Abstandes zwischen dem festen Punkt P(1|5) und einem beliebigen Punkt (x|y) auf der Geraden mit der Gleichung f(x)=-4x/3 -2 durch x aus und bestimme damit den Geradenpunkt mit einem möglichst kleinen Abstand zu P(1|5)
    [/size]
    c) Ein Geschäftshaus soll durch einen Anbau erweitert werden. Dazu muss auch eine neue Regenrinne installiert werden. Der Architekt schlägt aus ästhetischen Gründen eine Kastenrinne vor. Im Gespräche mit dem Unternehmer erfährt er, dass die Verwendung vorgefertigter Kupferblechstreifen von 55cm Breite auch aus Kostengründen sinnvoll wäre. Der Unternehmer überträgt die Ausformung der Regenrinne einem Mitarbeiter. Was hat dieser zu bedenken?

    === === ===

    Ich habe die a und b auch dazu geschrieben, damit man den Text über den Unteraufgaben (also den mit "Mithilfe einer" beginnenden) vielleicht besser versteht. Ich brauche aber lediglich Hilfe bei der c.

    Mein Hauptproblem liegt darin, dass ich den Satz "Was hat dieser zu bedenken" nicht mit der Aufgabe in Verbindung bringen kann.
    Soll ich jetzt schreiben, warum eine Kupferblechstreifenrinne (wenn ich das Wort richtig verstehe als halbrund gebogenes Blech) bei gleichem Materialverbrauch mehr Wasser transportieren kann als eine Kastenrinne? Wenn ja, was macht dann die Zahl 55cm da, das ist ja bei allen Maßen so.

    Vielen Dank für etwas Hilfe,
    Gazzis

    PS: Das Ganze hat Zeit, ich hab ja Ferien. :D (bis Ende der Woche)
  • Das ist ganz einfach eine Extremwertaufgabe.

    Das Profil ist ein Kasten, also der Querschnitt ein einseitig offenes REchteck. Und du sollst jetzt bei 55 cm Blechbreite die optimale Fläche berechnen.

    Und der Kurvenverlauf des Flächeninhaltes in Abhängigkeit von der Breite und der Höhe des Rechteckes ist eine nach unten offene Parabel. Die maximale Fläche ist im Ursprung der Parabel.

    Jetzt überlege und rechne mal und wenn du nicht weiterkommst, dann frag halt noch einmal.

    Edit:
    Naja, will mal nicht so sein. Versuch aber, es zu verstehen und nicht nur abzuschreiben.

    Das Ganze ist ein Kasten, also ein nach oben offenes Rechteck. Das Blech von 55 cm muss also für 3 Seiten reichen.

    => a + 2b = 55 => a = 55 - 2b (a ist unten, b an den beiden Seiten)

    und A = a * b

    einsetzen: A = (55 - 2b) * b

    A = 55 b - 2 b²

    oder anders geschrieben:

    A = - 2 b² + 55 b

    Das muss jetzt in die Scheitelpunktform, dann hat man direkt die Lösung:

    A = -2 (b² - 27,5b) /-2 ausgeklammert

    A = -2 (b² - 27,5b + 13,75² - 13,75²) /13,75 ist natürlich 27,5:2

    A = -2[(b-13,75)² - 13,75²] /binomische Formel

    A = -2 (b-13,75)² + 378,125 /das ist -2 * 13,75²

    Und das ist schon die Scheitelpunktform.

    Die Parabel (Fläche) hat einen Scheitelpunkt (Maximalwert) für b = 13,75. Die maximale Fläche beträgt dann 378,125. (Toll wa?)

    Und wenn b = 13,75 ist, dann ist a natürlich 55 - 2 * 13,75 = 27,5


    Und jetzt schick mir mal ein Bier rüber.
  • Dankeschön! Also doch so einfach, oki :)
    Wenn man erstmal die Aufgabenstellung verstanden hat, wird doch alles leichter :cool:

    Auch wenn das jetzt unglaubwürdig klingt, so eine Idee hatte ich im Laufe des Tages auch entwickelt.
    Nur stellt sich mir jetzt eine Frage:

    Eine halbrunde Regenrinne ist doch bei gleichem Materialverbrauch viel besser, oder? Ich komm auf eine Fläche von 481,61. Das sind über 25% mehr. Das würde sich doch mehr als lohnen.

    Extrem schwierige Kreisumfangs- und Flächeninhaltsberechnung ;)
    u=2*r*pi --> r=17,51 = (2*55)/2/pi
    Fläche des Halbkreises is dann somit 481,61 = r^2*pi/2

    Fällt mir grad noch so ein: Oder ist der Satz "Im Gespräche mit dem Unternehmer erfährt er, dass die Verwendung vorgefertigter Kupferblechstreifen von 55cm Breite auch aus Kostengründen sinnvoll wäre." so zu verstehen, dass der Mitarbeiter die Idee der Kastenrinne unterstützt und lediglich darüber informiert, dass das Material günstig beschafft werden kann? Denn wenn der Mitarbeiter wirklich frei entscheiden darf, sollte er doch die halbkreisförmige Rinne vorziehen. Ich hatte es bis jetzt immer so verstanden, dass der MA das Material irgendwie biegen will, und zwar so, dass am meisten Wasser durchfließen kann.

    Danke und viele Grüße,
    Gazzis

    //edit: Bier vergessen. :bier1:
  • Gazzis schrieb:



    Fällt mir grad noch so ein: Oder ist der Satz "Im Gespräche mit dem Unternehmer erfährt er, dass die Verwendung vorgefertigter Kupferblechstreifen von 55cm Breite auch aus Kostengründen sinnvoll wäre." so zu verstehen, dass der Mitarbeiter die Idee der Kastenrinne unterstützt und lediglich darüber informiert, dass das Material günstig beschafft werden kann? Denn wenn der Mitarbeiter wirklich frei entscheiden darf, sollte er doch die halbkreisförmige Rinne vorziehen. Ich hatte es bis jetzt immer so verstanden, dass der MA das Material irgendwie biegen will, und zwar so, dass am meisten Wasser durchfließen kann.


    Genau.

    Es geht nur darum, dass irgendwie die Länge a + 2b vorgegeben ist.