Extremwertberechnug

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  • Extremwertberechnug

    Eine Strecke a = 90 cm wird in 2 Stücke geteilt. Das eine Teilstück wird als Seite eine Quadraten, das andere als Radius eines Kreises benutzt. Wie ist die Strecke zu teilen, damit die Summe der Flächeninhalte minimal wird ?

    Brauche dazu eine schnellst mögliche lösung mit erklärung ^^
  • 1. Gleichung:

    A = a² + 3,14159 * r²

    2. Bedingung:

    a + r = 90

    => r = 90 - a

    2 in 1:

    A = a² + 3,14 *(90 - a)²

    A = a² + 3,14 (a² - 180 a + 8100) Weitere Korrektur siehe unten

    A = a² + 3,14 a² - 282,6 a +25434

    A = 4,14 a² - 282,6 a + 25434


    1. Ableitung:

    A` = 8,18 a - 282,6

    Extremwert für A` = 0

    8,18 a - 282,6 = 0

    a = 35,55

    r = 90 - 35,55 = 54,45


    A``= 8,18 ist > o => Minimalwert.


    Theoretisch kann man das Ganze auch ohne Extremwertbetrachtung lösen, indem man die Parabelgleichung in die Scheitelpunktform bringt!!
  • @McKilroy: dir ist ein kleiner Fehler unterlaufen:
    2. bin. Formel: (a-b)² = a² -2ab + b²

    A = a² + 3,14 *(90 - a)²

    A = a² + 3,14 (a² - 90 a + 8100)


    ==> A(a) = a² + 3.14 (a² - 180a + 8100)

    ==> Somit ist das Minimum der Summe der beiden Flächen bei a ~ 68,27cm; r = 21.73cm; A = 6144.2306 cm² == 61,44 dm² == 0,6144 m²

    Tipp: wer den TI-83Plus oder einen ähnlichen GTR hat, kann die Funktion A(a) auch plotten lassen und über [2nd][calc][minimum] sich den minimalen Funktionswert direkt ausgeben lassen, ohne Zeit für die beiden Ableitungen zu benötigen. Als untere Grenze (left bound) gibt man "0" ein und als obere Grenze (right bound) "90", da die Definitionsmenge der Flächenfunktion "alle Zahlen von 0 bis 90" ist, da die Strecke 90cm beträgt und somit x weder negativ (<0) oder unendlich groß sein kann (>90).

    mfg, moe