mathe...was ist der diverenzialquotient?

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  • (jaa, toll... endlich mal eines der Themen was ich 100% verstanden habe und jemand fragt danach :))

    Der Differenzialquotient ist prinzipiell das Steigungsdreieck eines beliebigen Polynoms (ganzrationale Funktion, oder allgemein irgendeiner Funktion (Parabel, lineare Gleichung, etc.). Bei einer linearen Funktion berechnet dieser sich durch , also einem beliebigen Abstand x2 zu x1 (das D von Delta steht für Differenz) und den dazugehörigen Werten y2 und y1.
    Beispiel siehe auch meine Grafik unten: (Funktionsterm ist f(x)=2x
    Punkt P(1|2) und Punkt Q(2|4)



    Somit ist das bekannte Steigungsdreieck: .
    Wir kontrollieren mit dem gegebenen Funktionsterm. 2x. Stimmt also.


    Soweit so gut. Bei linearen Gleichungen ist dies immer möglich. (Nehmen wir als Probe x1=10 und x2=15 und probieren: (30-20)/(15-10)=10/5=2.)
    Bei linearen Gleichungen ist die Steigung an allen Punkten der Funktion gleich.

    Bei quadratischen (oder höheren) Funktionen wird das aber schwierig. Nehmen wir als Beispiel f(x)=x^2

    Ausgehend von dieser Funktion möchten wir die Steigung berechnen.
    "Unwissend" wie wir sind, versuchen wir die Steigung der quadratischen Funktion zu berechnen. Nehmen wir die gleichen x-Werte wie oben. P(1|1) und Q(2|4). Laut Steigungsdreieck müssen wir nun (4-1)/(2-1)=4 rechnen und erhalten unsere Steigung. Aber ist das wirklich so? Als Probe noch R(10|100) und S(15|225). (225-100)/(15-10)=125/5=25. Hmm... da stimmt was nicht. Klar, kann auch nicht gehen, da die Funktion keine Gerade ist. Es ist aber doch möglich: Hier kommt der Differenzialquotient zum Einsatz. Da die Steigung an jedem Punkt unterschiedlich ist, kann man die Steigung immer nur für einen x-Punkt berechnen. Nehmen wir x=1 und berechnen für diesen Punkt die Steigung. (Hinweis: Die Steigung der quadr. Funktion an einem Punkt ist auch die Steigung der Tangente, also einer linearen Funktion, die die quadratische Funktion nur an *diesem einen* Punkt berührt, sonst nirgendwo.)

    Hierfür nehmen wir nicht so große Abstände wie z.B. x1=1 und x2=2 sondern z.B. x1=1 und x2=1.000000000000001. Aber auch das ist uns zu ungenau. Daher nehmen wir x1=1 und x2=1+h und gehen davon aus, dass das h unendlich klein ist.
    Wir setzen in das bekannte Steigungsdreieck die Werte ein:



    und erhalten als "Sekantensteigung", also die Steigung der linearen Funktion die durch die Punkte P(1|1) und Q(1+h|(1+h)^2) geht: 2+h.
    Wir hatten gesagt, dass das h unendlich klein wird und setzen es deshalb nun gleich 0. Also bleibt 2+0=2 übrig.



    2 ist die "Tangentensteigung", also die Steigung der linearen Funktion, die durch die Punkte P(1|1) und Q.. nein, nix Q, h ist ja unendlich klein, also nicht existent, geht. Die Tangente geht *nur* durch P(1|1).
    Wir setzen die eben errechnete Steigung in die Punkt-Steigungsform ein: (m= Steigung = 2; x1=1, y1=1):

    und erhalten:



    Du brauchst den Differenzialquotienten also z.B. (ich sagte Beispiel, wird bestimmt noch x-tausend andere Anwendungsbeispiele geben), um einfach nur die Tangente zu bestimmen.
    //edit: Zum Beispiel die Momentangeschwindigkeit eines Autos kann man so berechnen (also das was auf dem Tacho steht). Das ist ja nicht die Durchschnittsgeschwindigkeit. Schließlich ist es auch möglich 200 km/h zu fahren, obwohl man nur 10km gefahren ist :D

    Wenn noch Fragen da sind oder du irgendwas genauer wissen möchtest, dann stehe ich / stehen wir (ich denke, ich kann für die Allgemeinheit sprechen) gerne zur Verfügung.

    PS: ja, ich hab das wirklich alles gerade neu getippt, nix kopiert oder so :D (ich hab keinen Smiley mehr frei... max. 10 Bilder pro Thread ^^)

    Viele Grüße, Gazzis
  • cool! vielen dank! jetz hab ich das auch viel besser verstanden als in der schule....werd mir es trotzdem nochmal in ruhe durchlesen! kannst du mir ein paar beispielaufgaben geben? leichte und schwere!
  • Alles klar :)

    Ein paar Aufgaben:
    (ich hoffe, ich habe sie einigermaßen nach Schwierigkeit gestaffelt)

    Als erstes die gegebenen Funktionen, die ich in den folgenden Aufgaben verwende:


    1. Berechne die Gleichung der Tangente der Funktion f(x) am Punkt P
      1. f(x)=y1 P(2|4)
      2. f(x)=y1 P(4|16)
      3. f(x)=y1 P(-2|?) <-- kleine Rechenübung. Das "?" musst du durch den passenden y-Wert ersetzen ;)
      4. f(x)=y2 P(3|?)
      5. f(x)=y3 P(-2|?)
      6. f(x)=y1 P(a|?) (a ist ein beliebiger x-Wert. Wenn du x=a setzt und wie oben die Tangentensteigung ausrechnest, erhältst du eine funktionsweit gültige Steigung. Hat den Vorteil, dass du dann nur noch z.B. a=2 setzen musst und die Steigung für x=2 hast.)
      7. f(x)=y4

    2. Welche Besonderheit hat die Tangente von f(x)=y1 am Punkt P(0|0)? Was fällt dir hier auf?
    3. Gegeben ist folgendes Schaubild: rot gezeichnet ist f(x)=y1, daran anliegend die blauen Tangenten für x1=-1,5 x2=-1 x3=0,5.

      Stelle dir vor, es würde unendlich viele Tangenten geben, für jeden x-Wert eine. Was für eine Fläche entsteht? Was ist blau, was bleibt weiß?
    4. Die Formel einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung (fächerübergreifende Aufgabe mit Physik ^^ ) lautet s=1/2*a*t^2. a ist der Beschleunigungsfaktor, s der zurückgelegte Weg, t die Zeit. a ist vorgegeben mit 3 meter / sekunde^2. Wir befinden uns aber in der Mathematik und machen es uns einfach, also vergiss die Einheiten!
      Finde eine Funktion f(x), die den jeweils zurückgelegten Weg zu einem beliebigen Zeitpunkt x ausgibt.
      Als Zusatz wäre es interessant, die Momentangeschwindigkeit (Tangentensteigung) zu jedem Zeitpunkt t ausrechnen zu können. Finde diese allgemein gültige Tangentensteigung zu deiner eben ausgerechneten Funktion.



    Wie willst du das mit den Lösungen handhaben? Soll ich sie hier verdeckt in den Thread schreiben, damit du selbst nachgucken kannst? Oder is dann die Versuchung für dich vielleicht zu groß?

    Viel Erfolg,
    Gazzis
  • nö! also die versuchung ist nicht zu groß!.....ich werd die aufgaben demnächst mal lösen und hier posten! dann kannsu die lösung posten und meins ''benoten'' einverstanden?