Mathe Aufgabe

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  • Mathe Aufgabe

    Hallo!
    Ich habe in Mathe eine Hausaufgabe die wie folgt lautet:
    2 Städte;
    Stadt 1 "Utopia" 100 Millionen Einwohner; Wachstum 2%
    Stadt 2 "Silurien" 50 Millionen Einwohner; Wachstum 3%

    Nach wieviel Jahren haben die beiden Städte gleich viel Einwohner?


    Ok, hier erst mal eine Zeichenerklärung ;)
    a/b = Ein Bruch ;) bzw. a durch b
    x^y = x hoch y
    a+b = a plus b
    a-b = a minus b
    a*b = a mal b
    ln = natürlicher Logarithmus
    log = dekadischer Logarithmus
    e = eulersche zahl


    Mein ansatz:

    U(y) = U(0)*(1+p/100)^y
    S(y) = S(0)*(1+p/100)^y

    U(0)*(1+p/100)^y = S(0)*(1+p/100)^y
    100.000.000*(1+3/100)^y= 50.000.000*(1+2/100)^y |:50.000.000
    2*1,03^y = 1,02^y |ln
    ln2*y*ln1,03 = y*ln1,03
    ???

    So.. und jetzt weiß ich nicht weiter...
    Kann mir da jemand helfen?

    MFG :D
  • Kleiner Fehler bei dir.
    Du hast die Wachstumraten vertauscht. ;)


    U = 100 000 000 * 1,02^n
    S = 50 000 000 * 1,03^n

    Wenn du das vertauschst, dann kriegst du ein negatives n raus, weil die in der Vergangenheit die gleiche Anzahl an Einwohnern hatten.

    Dann hast du richtig gesagt: U = S

    Also 100 000 000 * 1,02^n = 50 000 000 * 1,03^n

    50 000 000 nach links und die 1,02^n nach rechts:

    2 = 1,03^n/1,02^n

    Gleiche Exponenten, daher:

    2 = (1,03/1,02)^n

    2 = 1,009803922^n

    log(2) = log(1,009803922) * n

    n = 71,04701936

    Mach die Probe und du siehst, es stimmt.

    Übrigens: Damit die Probe mit einigermaßen vielen Stellen stimmt, musst du auch n mit vielen Stellen bestimmen.

    Du kannst natürlich auch anstatt (1,03/1,02)^n Folgendes machen:

    2 = 1,03^n/1,02^n

    log 2 = log 1,03 * n - log 1,02 * n

    log 2 = (log 1,03 - log 1,02) * n

    So long

    Mc Kilroy


    Und noch ein Tipp:

    Nimm bei solchen Aufgaben immer den Log und nicht den ln!