Berechnung von Nullstellen e-Funktion

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  • Berechnung von Nullstellen e-Funktion

    Hallo Leute,

    Weiß jemand von euch, wie man bei der folgenden Funktion die Nullstelle berechnet:

    f(x) = x * (e^-x) + 2 oder auch: f(x) = (x/(e^x)) + 2

    Die + 2 steht also nicht im Exponenten sondern ist mit + an den Rest der Funktion angehängt.

    Bitte nur posten, wenn ihr wirklich Ahnung habt.

    Schonmal thx

    Mc Kilroy
  • Ich habe doch gesagt, nur antworten, wenn ihr die Aufgabe lösen könnt.

    Rumraten bringt nichts.

    Die Funktion hat eine Nullstelle bei ca. -0,852, das kann man sehr leicht ermitteln. Es geht um die rechnerische Lösung.

    Die Funktion muss auch eine Lösung haben, denn die Funktion e^-x oder auch e^x ist immer positiv, die Funktion x ist für negative x negativ und für positive x positiv. Also muss ein Vorzeichenwechsel bei der Funktion stattfinden. Die + 2 verschiebt die Funktion nur parallel.

    Weiß jemand die rechnerische Lösung?
  • f(x) = x * (e^-x) + 2

    hiermit musst du anfangen
    damit f(x)=0 ist, muss doch x * (e^-x) = -2 sein, oder?
    und hier liegt das Problem. Diese Gleichung lässt sich mit Algebra (logarithmieren) nicht lösen, hier muss auf Mittel der Numerik zurückgegriffen werden (das hat mir mein Mathe-LK-Lehrer letztes Halbjahr gesagt, bin in der 12ten). Aber da wir die Numerik noch nicht durchgenommen haben, musst du dir selbst was "erlesen".
    Gehst du noch zur Schule oder ist das eine Aufgabe aus dem Studium oder woher?

    Wüsste nämlich nicht, dass man Numerik in der Schule macht.
    Greetz,
    Fireball
  • Vielleicht hilft dir das weiter

    f(x) = (x/(e^x) + 2 = 0

    -> f(x) = (-x/e^x) = 2

    mit log(x/y) = log(x) - log(y) und ln e^x = x

    ln(2) = ln(-x) - x /-(ln(-x)

    ln(2)-ln(-x) = -x

    1) (x = ln(-x) - 0,693)

    mit log(x)-log(y) = log (x/y)

    2) ln(2/(-x)) = -x

    Das geht mit dem angegebenen Wert x=-0,852 auch auf, aber ich weiß nicht, wie es da weitergeht
  • Das geht mit der Lambert-W-Funktion, das ist die Umkehrfunktion von x*exp(x). In deinem Fall ist die Lösung -W(2)=-0.852605502013725. Analytisch lösen, in dem Sinne, dass man ne "schöne" Lösung mit bekannten Funktionen hinschreiben kann, geht das leider nicht.
  • Rechnerisch komm ich auch auf das Ergebnis x = -0,853

    Da habe ich einfach meine Lieblingmethode zu Berechnung der Nullstellen angewendet und zwar die das Newton-Verfahren.

    Man nehme einen Anfangswert der in der Nähe der Nullstelle ist und bildet zusätzlich die Ableitung.

    Formel.

    X ( Anfangswert ) - ( f(x) / f`(x) )

    Ich habe als Anfangswert x = 0 genommen.Man kann auch einen Wert, der näher ist nehmen, damit man nicht zu oft wiederholen muss um das Ergebnis zu haben, aber du wirst gleich feststellen, warum der X-Wert auch bei 1 oder 2 sein könnte.

    Erstmal zu Rechnung

    Ich habe die Ableitung gebildet.

    1.Ableitung (Quotientenregel)

    e^x - x * e^x / (e^x)²


    Newton-Verfahren (x-Wert einsetzen)

    0- ( ( (0 / e^0) + 2 ) / ( e^0 - 0 * e^0 / (e^0)²) )

    Da erhält man dann als ersten x-Wert -2

    Jetzt müsste man das Ganze mit 2 wiederholen und hätte wieder einen x-Wert bis man sich dem Nullpunkt nähert.

    Das würde jetzt viel zu lange dauern. Aber wozu hat man Taschenrechner und mit Hilfe eines Tricks muss man auch nur auf den Gleichheitsknopf auf dem Taschenrechner drücken und das so oft wiederholen bis der Taschenrechner sich bei einem Wert festsetzt und das ist unser gesuchte x-Wert.

    So jetzt will ich den Trick erklären.

    Man bestimmt einen x-Wert. Nehmen wir Null. Man tippt die Zahl auf den Taschenrechner und drückt auf gleich. Jetzt hat man diesen Wert, wenn man auf den Knopf ANS ( sollte eigentlich jeder Taschenrechner haben. Damit wird der letzte Wert angezeigt) drückt.

    Jetzt setzt man in die Gleichung nicht 0 ein um einen neuen x-Wert zu bekommen, sondern ANS

    Die Gleichung sieht dann folgendermaßen aus :

    ANS - ( ( (ANS / e^ANS) + 2 ) / ( e^ANS - ANS * e^ANS / (e^ANS)²) )


    Jetzt einfach ganzezeit auf den Gleichheitsknopf drücken bis sich das Ergebnis kaum ändert.

    Warum der Trick funktioniert ? Ganz einfach. Beim Newton-Verfahren müsste man jetzt mit -2 das Ganze wiederholen und das Ganze nochmal eintippen. Beim neuen x-Wert genauso. Bei diesem Trick wird der neue Wert, sobald man wieder auf den Gleichheitsknopf drückt als ANS eingesetzt, sodass man das Ganze nicht nochmal eintippen muss, sondern da schon die neue Gleichung mit dem neuen X-Wert, welches ja unter ANS gespeichert ist.

    Bei dieser Rechnung haben wir schließlich nach langen "rumhämmern" auf dem Gleichheitsknopf das Ergebnis :

    x = -0,853

    Hätten wir jetzt z.B. bei einer anderen Formel ganzezeit "gehämmert" und hätten irgendwelche großen Zahlen, die bei jedem Klicken immer größer wird, dann gibt es mit größter Wahrscheinlichkeit keine Nullstellen.

    Deshalb finde ich dieses Verfahren so toll. Zwar hat man meistens nur eine Nullstelle ( hier ist zum Glück nur eine Nullstelle vorhanden) , aber dann kann man mit der Polynomdivision etc noch die anderen Nullstellen berechnen.

    Man sollte, wenn man mit dem Taschenrechner arbeitet, auf die Klammern achten, weil man sonst zu keinem Ergebnis kommt. Auch sollte man die Ableitungsregeln beherschen, da man sonst schlecht ableiten kann.

    Wenn man das beachtet, wird man dieses Verfahren lieben.

    Ich hoffe, ich konnte dir helfen.
    [size=2]Out of Order[/size]
  • jaxxwayne schrieb:

    Nein das Newton Verfahren wird nicht normalerweise in der 12 oder 13 gelehrt ;)
    Zumindest nicht in NRW (Abi 2007).




    Aber sicher doch.

    NRW - Mathe Leistungskurs - Im Buch ist das Newton-Verfahren beschrieben.

    Wenn ihr das übersprungen habt, ist das Sache eures Lehrers. Vorgesehen ist es theoretisch aber.
  • also in BW macht man das in der 12., sollte in NRW dann auch dran sein.

    newton ist in deiner Situation am sinnvollsten, da du die Omega Funktion (=Lambert) in der Schule niemals machen wirst.