Nullstellen berechnen? newton verfahren?


  • dommel
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  • Nullstellen berechnen? newton verfahren?

    abend zusammen,

    kann mir jemand die nullstellen von folgender funktion berechnen?

    f(x) = x³ - 6x² + 9x - 1

    irgendwas war da mit newton-verfahren? :confused:

    vielen dank schonma für die hilfe! :D :D
    [FONT="Georgia"]*~~~~ Erst wenn wir alles verloren haben, haben wir die Freiheit alles zu tun ~~~~*[/FONT]

  • Für Polynome dritten Grades gibt es noch Lösungsformeln, die sind aber etwas komplizierter als die pq Formel(für 4 auch, dann ist Schluss). Kannst mal bei wikipedia nach der Formel kucken, Newton geht natürlich auch, ist aber dann nicht exakt.

  • Hallo Leute :)


    Newton hat halt das Problem, daß man stets zur Nullstelle hin absteigt. Heißt: Mit einem Startwert findet man höchstens eine Nullstelle. Um alle 3 Nullstellen per Newton Verfahren zu berechnen, braucht man die Stellen der Extrema, sowie den Nachweis, daß die Funktion in den 3 Intervallen ]-oo, 1.Extrema[, ]1. Extrema, 2. Extrema[, ]2. Extrema, +oo[ einen Vorzeichenwechsel enthält. Sonst ist Newton auf so einem Intervall eh sinnlos. Ferner muß man aufpassen welchen Startpunkt man jeweils in den 3 Intervallen wählt. Wenn's dumm läuft, springt ihr nämlich aus den Intervall raus. Nehmt die mittlere Nullstelle und als Startpunkt einen Punkt, der nur minimal links vom relativen Minimum der Funktion ist. Schon landet ihr bei der linken Nullstelle. Also Newton in allen Ehren, nur man muß wissen, was man tut :D.

    Außerdem ist Newton, wie es schon hier gesagt wurde nur ein approximatives Verfahren, welches Dir die Nullstelle bis zu einer gewissen Genauigkeitsschranke ausrechnet. Mit Papier und Bleistift würde ich das sowieso nicht ausrechnen wollen.


    Gruß,
    Linda

  • Hey...

    also ich hab das gerade mal in meinen Ti-200 Voyage Taschenrechner
    eingetippt:

    Löse(0=x^3-6x^2+9x-1,x)

    Lösung: x= 3.53209 or x= 2.3473 or x= 0.120615

    Du hast ja in dem Fall 3 Nullstellen... Newton verfahren sagt mir jetzt nix
    aber ansonsten machs doch mit der Polinomdivision.

    lg rave

  • oha!
    wow vielen dank an euch,
    die lösungen sind richtig, also meinte meine mathelehrerin ^^.

    allerdings geht polynom division ja garnich,
    also wir haben ja keine nullstelle, mit der wir dann dividieren könnten,

    und x ausklammern is auch nich so das wahre, da ja zwar 0 zunächst als lösung erscheint, aba dann ja im nenner stehen würde.
    versteht ihr? :D

    ok nochmals vielen dank für eure hilfe !!!
    [FONT="Georgia"]*~~~~ Erst wenn wir alles verloren haben, haben wir die Freiheit alles zu tun ~~~~*[/FONT]

  • Also x ausklammern ist natürlich völliger Quatsch, dass macht nur Sinn, wenn alle Glieder ein x haben.


    Da es keine ganzzahlige Lösung gibt, sollte man die erste Nullstelle über das Newton-Verfahren ermitteln. Logischerweise kriegt man die Lösung nur näherungsweise. Ich würde mal auf 2 Stellen hinter Komma berechnen.

    Dann kannst du mit dem Wert Polynomdivision machen und die übrigen beiden Nullstellen mit quadratischer Ergänzung oder p-q Formel berechnen.

  • also wir dürfen in Thüringen in der Oberstufe folgenden offiziell nicht programmierfähigen Taschenrechner verwenden:

    Casio fx-991MS

    Der löst auch Gleichungen 3. Grades und auch Gleichungssysteme mit 3 Unbekannten.

    Kann ich euch nur empfehlen (vor allem dann in der 11 - bei Kurvendiskussionen....;) )

    fu_mo


    PS.: wie der das macht, weiß ich nich - is ja auch eigentlich woscht :D

    PPS.: es gibt auch so ein Verfahren nach BOLZANO. dabei muss man ein Intervall finden, in dem ein Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten der Intervallgrenzen vorliegt. Dann halbiert man das Intervall und schaut nach, wo der VZW is. halbiert wiedeer usw.
    musst ich ma in Info für Turbo Pascal schreiben. Wer den Code haben will, muss es halt sagen (is zu lang, als dasss man den hier posten könnte ;)