äußere Lage zweier Punkte - Ebene , Abstand

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  • äußere Lage zweier Punkte - Ebene , Abstand

    Hallo,

    ich hab ein Problem mit der folgenden Mathe Aufgabe:


    Geg:
    E1: 2x - y + 2z + 2 = 0
    C(4/0/4)
    O(0/0/0)

    Problem:
    Ermitteln Sie den Abstand des Punkts C von der Ebene E1.
    Prüfen Sie, ob der Punkt C und der Ursprung 0 des Koordinatensystems auf verschiedenen Seiten der Ebene E1 liegen. (5 BE)

    Ansatz:

    Abstand: d= 2*4+2*4-2 / sqrt(4+1+4)
    d=4,666 (Ist das richtig ?)

    Lage der Punkte:

    Tja, ich habe bisher die Idee gehabt, quasi jeweils die Gleichung der Lotgreaden aufzustellen,entsprechend in die EbenenGl einsetzen . Da die errechneten Skalare beide ein negatives VZ haben , müssten Sie auf der gleichen Seite liegen.



    Dann wäre s= -2/9 und t=-2

    Allerdings bin ich mir nicht sicher , ob das als Beweis dient ?

    Gibt es vielleicht eine Möglichkeit , das ganze kürzer abzuhandeln ?
  • (Abstand hab ich nicht nachgerechnet.)

    Ob die beiden Punkte auf der selben Seite der Ebene liegen?
    Wenn Du richtig gerechnet hast (hab das nicht nachkontrolliert), und beide Male für s bzw t eine negative Zahl rauskommt, reicht das, würde ich sagen.

    Ob es schneller/kürzer geht? Such mal nach dem Begriff "HESSEsche Normalform" oder HESSEform in Deiner Formelsammlung (oder Wikipedia?), oder vielleicht kennst Du ja den Begriff schon. Wenn ich mich richtig erinnere, sagt Dir diese sowhl den Abstand der Punkte von der Ebene und auch, ob die Punkte auf der selben Seite der Ebene liegen.
    Dein Weg ist aber auch richtig und ziemlich schnell, finde ich.