Umkehrfunktion

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  • Umkehrfunktion

    hallo leute,

    ich suche die umkehrfunktion dieser funktion :

    (5 e^-x) - (10 e^-2x)

    ich komme einfach nicht weiter :(

    am besten auch mit lösungsweg.

    dickes dankeee


    MfG Yoda2003
  • Hallo,
    vielleicht ein bißchen spät, aber trotzdem...

    Grundgedanke/Vorgehensweise, wenn man die Umkehrfunktion sucht ist, folgender Plan:
    1. Gleichung "nach x umstellen/auflösen"
    2. x und y vertauschen
    3. neue Gleichung ggf. wieder nach y auflösen.

    Mal ein einfacheres Beispiel:
    y= 5x +4
    Phase 1: x=(y-4)/5
    Phase 2: y=(x-4)/5 ( = x/5-4/5)
    Phase 3: entfällt hier.

    Das Problem bei Deinem Beispiel ist zunächst, daß man (anscheinend) die Terme mit x nicht so zusammenfassen kann, daß nur ein Term mit x vorkommt, (weil der Term auf der rechten Seite eine Differenz ist, ich hab auch "ein bißchen" gebraucht, bis ich dann draufgekommen bin ^^).
    Mit dem berühmten "scharfen Hinsehen" sieht man, daß (e^-2x) das Quadrat von (e^-x) ist; und deshalb kann man "mit Gewalt" die rechte Seite als Quadrat schreiben.
    Ich setze (e^-x) = t, weils einfacher zu schreiben geht; also einfach für jedes "t" e^-x denken.
    Deine Gleichung schaut dann so aus (vielleicht sieht man so das Quadrat auch besser):

    y = 5t - 10t^2 = -10(t^2 - t/2) /* das y mußt Du natürlich immer (zwecks Vertauschen) hinschreiben*/
    rechte Seite quadratisch ergänzen:
    y = -10*[(t-1/4)^2 - 1/16]

    Jetzt ist die rechte Seite "bereit" für Phase 1 (zur Abwechslung mal wieder mit e^-x):
    -y/10 + 1/16 = (e^-x - 1/4)^2
    noch die Wurzel ziehen:
    (-y/10 + 1/16)^(1/2) = (e^-x) - 1/4 /* das (- 1/4) ist bzw war mir egal, wo es steht... */

    Jetzt hast Du die gewünschte Form, in der x nur noch einmal vorkommt und wo man deshalb schön vertauschen kann, deshalb Phase 2:
    (-x/10 + 1/16)^(1/2) = (e^-y) - 1/4

    Phase 3: Gleichung wieder nach y auflösen:
    (e^-y) = (-x/10 + 1/16)^(1/2) + 1/4
    auf beide Seiten den ln "loslassen" (Definitionsmenge beachten, die rechte Seite darf nicht kleiner oder gleich 0 werden, also x < (5/8). Evtl hast Du vorher schon die Wertemenge der alten Funktion bestimmt? Die ist dann die neue Definitionsmenge, d.h. die Def. und die Wertemenge vertauschen sich einfach. Ist das Maximum der Ausgangsfunktion bei y(max) = 5/8? Das würde meiner Rechnung etwas "Sicherheit" geben.)
    -y = ln [(-x/10 + 1/16)^(1/2) + 1/4]

    und somit käme ich auf folgende Umkehrfunktion (Täteräää):

    y = (-1) * ln [(-x/10 + 1/16)^(1/2) + 1/4] ("Taufe": **)

    und hier sehe ich nichts mehr, wie ich weiter vereinfachen könnte.
    Die Probe (ich habe obigen Term (**) in die Ausgangsfunktion eingesetzt, weil sich der ln in der e-Funktion schön weghebt) hat bei mir auch hingehauen, aber das erspar ich mir hier lieber. Ich bin aber sehr zuversichtlich. ;)

    Fazit: Man mußte "sehen", daß (e^-2x) das Quadrat von (e^-x) ist und den Ausgangsterm als Quadrat umformen, um den Term mit nur einem x schreiben zu können.

    Gut für die Vorstellung, wie sowas ausschaut: Der Graph der Umkehrfunktion ist der Graph der Ausgangsfunktion; nur an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten (also an der Geraden y=x) gespiegelt. Wenn man sich die Definitionsmenge auf der x-Achse und die Wertemenge auf der y-Achse vorstellt, sieht man auch, wie diese beiden durch das Spiegeln vertauscht werden (finde ich jedenfalls).

    Uff. Hoffentlich noch rechtzeitig,
    Grüße
    Statler