Aufgabe aus Vorlesung Höhrere Mathematik I

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  • Sn4tch
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  • Aufgabe aus Vorlesung Höhrere Mathematik I

    So ich hab hier mal eine Frage an die Mathe-Künstler unter euch.
    Ein paar Infos vorab, damit nicht jeder hier postet, der 2*8 rechnen kann. Es handelt sich um eine Aufgabe aus Höhere Mathematik I, also 1. Semester eines Studiums zum Wirtschaftsingenieur bzw. Eletrotechniker an einer sogenannten Exzellenz-Hochschule.
    Die Aufgabe soll man entweder mit dem Wurzel-, Quotienten-, Vergleichs oder Leibniz-Kriterium lösen (wobei manche Kriterien bei dieser Reihe eher unpassend sind). Also keine anderen Lösungswege erwünscht und bitte nur die Leute posten, die auch Mathe im Studium hatten oder aus anderen Gründen aus einem sehr großes Wissen schöpfen können.
    Die Aufgabe steht im Bild, sollte eigentlich alles zu erkennen sein, ansonsten fragen..


    Mein Ergebnis lautet, dass die Reihe konvergiert, ein Freund von mir behauptet, sie divergiert.
    Kann jemand von euch ein Ergebnis unterstützen? Bitte schreibt dazu, mit welchem Kriterium ihr es gelöst habt.

    Bin mal gespannt, wie viele Mathe-Freaks sich hier rumtreiben ;)
    Schönes Wochenende
    Gruß Sn4tch

  • wenn ich des noch richtig in Erinnerung habe dann schaut es aus als wäre die Reihe allternieredn. Aber wen man etwas einsetzt für n (gerade, ungerade), dann macht es am Ende keinen Unterschied, ist immer positiv also entweder 0.5 oda 3/2 im Zähler.
    Der Nenne hat ein n davor und für n->unendlich denke ich, strebt der Nenner auch gegen unendlcih somit alles gegen 0. Also ist die Reihe konvergent.
    Mit was ich des jetzt lösen würde, mit em Wurzelkriterium.

  • Hi,

    also meine Idee wäre das ganze nach oben durch ne divergierende Reihe abzuschätzen.

    1.) Es gilt (1+0.5*(-1)^n)>=0.5

    Damit ist schonmal

    Alles >= 0.5* Summe 1/(n*(1+e^-n))

    2.) Weiter ist 1/(n*(1+e^-n)) = 1/n * 1/(1+e^-n).
    Der 1/(1+e^-n) Teil nimmt die Werte 1/(1+e^-1), 1/(1+e^-2), usw an. Also gilt
    1/(1+e^-1)<=1/(1+e^-n) <=1. (Wenn du's parademäßig machen willst, berechne die Ableitung und zeig damit, dass die Funktion 1/(1+e^-x) monoton steigend für x>0 ist).
    Den kann man also auch abschätzen durch 1/(1+e^-1) und hat
    Alles >= 0.5*1/(1+e^-1)*Summe 1/n
    und das divergiert bekannterweise. Damit kann man die Reihe mit einer abschätzen die gegen unendlich geht und damit divergierts.
    Ich hoffe ich hab nix falsch gemacht ;)

  • Ich trau mich auch mal...
    Zuallererst mal ein kleiner Buchtipp: Peter Furlan, „Das gelbe Rechenbuch 1“, S.173/174 (in Deiner UniBib?); erklärt schön und hat auch mehrere/viele gute durchgerechnete Beispiele. Die zwei von mir benötigten Konvergenzkriterien (Vergleichs- und Leibnizkrit.) sind auf o.g. Seiten (sogar mit gerechneten Beispielen!) behandelt und ich beziehe mich auch auf die Kriterien aus diesem Buch. D.h. wenn Du das Buch nicht hast bzw nicht findest, mußt Du Dir die Kriterien aus anderen Formelsammlungen besorgen und das entsprechend meinem "Plan"/Lösungsvorschlag ausformulieren (wenn Du meinen Plan für richtig hältst).

    Ich spalte mir den Bruch (genauer gesagt, den Zähler des Bruches) in der Summe auf (hier bin ich mir ehrlich gesagt nicht 100% sicher, ob ich das darf. Ich denke aber schon. Wenn die Summe einen Grenzwert hat, ist er gleich der Summe der einzelnen Grenzwerte; „Linearität“). Es stehen dann einfach 2 Brüche in der Summe: der erste ist
    1/n(1+e^-n)
    und der zweite ist
    0,5(-1)^n/n(1+e^-n)

    Dann betrachte ich nur noch den ersten Bruch (der zweite konvergiert m.E. nach dem Leibnizkriterium; ich schätze den ganzen Nenner mit n („schlimmster Fall“: Nenner kleiner gemacht -> gesamter Bruch größer, trotzdem konvergent nach Leibniz) ab (Siehe Literaturtipp).
    Den ersten Bruch behandle ich mit dem Vergleichskriterium mit der Vergleichsreihe bn=1/n (divergent!) und erhalte so, daß der erste Bruchterm (und damit die ganze Reihe) divergiert (Siehe Literaturtipp).

    Zum Thema „scharf hinschauen“: Im Zähler steht als „am stärksten wachsende Funktion“ die 1, also eine Konstante. Im Nenner hast Du im Prinzip n^1 stehen (schreib Dir mal die verwendete e-Funktion als Taylorreihe entwickelt hin!). Das reicht noch nicht aus, um die Nennerfunktion „groß genug“ werden zu lassen (insgesamt steht da also 1/n; für Konvergenz müßte ja 1/n^2 sein; siehe auch die divergente Reihe 1/n), daß die Reihe konvergiert. Ich selber hab mir das aber auch erst später überlegt, wirklich gesehen hab ich das auch nicht gleich, bzw wär mir nicht sicher gewesen, ob das reicht. Nur mal als Anregung gedacht.

    Ob das auch stimmt? Weiß ich auch nicht ganz sicher, ich bin aber schon ein bißchen zuversichtlich, sonst würd ichs nicht unter meinem „Namen“ veröffentlichen. Ich würde halt einfach so rangehen.

    Ich würde aber schon gern erfahren, obs stimmt, was ich da so von mir gebe. Schreib doch bitte, wenn Dus weißt.

    Grüße, Statler

  • ola, also everyons lösung sieht für mich korrekt aus

    die lösung von statler hat leider einen denkfehler
    ja, bei summen gilt linearität
    nur bei unendlichen summen nur, wenn konvergenz vorliegt, was du aber beweisen willst. d.h. du kannst die summe nicht für den beweis auseinanderziehen

  • Hi!
    Da kommen die Freaks ja aus den Löchern gekrochen ;)

    @Fidibus:
    Ich will ja eigentlich auf Divergenz raus.
    Könnte man denn die Divergenz nicht so zeigen, daß man sagt:
    "Ich habe eine divergente Reihe (den ersten Bruch) und wenn ich dazu noch was Konvergentes bzw Endliches (den 2. Bruch) addiere, ist es ja egal, es bleibt divergent." ?

    Hach, diese Reihen haben mich schon immer genervt... ;)
    Grüße, Statler

  • hu,
    naja, um ehrlich zu sein, ich mag die reihen mit ihren konvergenzkriterien auch nicht

    hab jetzt nochmal in buch gesucht

    konvergieren die reihen summe(a_n), summe(b_n)
    dann konvergiert auch
    summe(a_n + b_n)

    daraus kann man schließen divergiert die reihe summe(a_n + b_n) dann divergiert mindestens eine der teilreihen
    was ja in dem fall passiert, aber wir können keine aussage machen, was es heißt, wenn eine teilreihe divergiert. zumindest kenn ich da keinen satz zu


    also zu deiner überlegung "Ich habe eine divergente Reihe (den ersten Bruch) und wenn ich dazu noch was Konvergentes bzw Endliches (den 2. Bruch) addiere, ist es ja egal, es bleibt divergent." stimm ich dir vollauf zu, nur muss man dann noch klammern und kommutieren,
    dazu hab ich hier noch im buch gefunden, dass die rechenregeln für endliche summen nicht alle für reihen gelten müssen. weder das assoziativgesetz noch das kommutativgesetz gelten uneingeschränkt

    und dein auseinanderziehen ist exzessives kommutieren, und klammern

    nur mal die ersten paar elemente

    (a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3)+...=((a1)+(a2)+(a3)...)+((b1)+(b2)+(b3)...)


    also möglich isses vielleicht schon so, ich weiß jetzt nicht inwiefern es doch nen spezialfall gibt, der sagt, dass das so gilt, nur ich kenn keinen...

    Gruß Fidibus

  • So ich hab jetzt die Lösung..
    Und zwar ist die Reihe divergent. Der Lösungsweg wurde von everyon genau richtig beschrieben.
    Dann ist die Sache hier geklärt und kann geclosed werden.

    Gruß Sn4tch