Mathe - Kurvenschar, gebr. rat. Fkt.

Diese Seite verwendet Cookies. Durch die Nutzung unserer Seite erklären Sie sich damit einverstanden, dass wir Cookies setzen. Weitere Informationen

  • Mathe - Kurvenschar, gebr. rat. Fkt.

    Hallo,

    ich habe hier eine Aufgabe von gebr. rationalen Fkt.. Aleerdings verstehe ich nicht wirklich viel was das bedeutet. :confused: Hier mal die Aufgabe:

    1. Die Gleichung: y = f(x)= a/x² - 4/x -2 beschreibt eine Kurvenschar. Ihre Graphen werden mit Ka bezeichnet. Diese besitzen an der Stelle x=0 eine Polstelle. (xER, aER, a>=0)

    1.1 Untersuchen Sie die Fkt. auf Schnittpunkte mit der x-Achse und geben Sie diese in Abhängigkeit von a an! (Beachte: a=0, a>0)

    1.2 Ermitteln Sie die Koordinaten des Extrempunktes von Ka (Nachweis!) und die Koordinaten des Wendepunktes von Ka (ohne Nachweis!) jeweils in Abhängikeit von a.

    1.3 Untersuchen Sie Fkt. im Unendlichen.

    1.4 Setzten Sie a=4!
    Zeichnen Sie K4 in ein Koordinatensystem im Intervall -6 =< x =< 6!

    1.5 Zeichen Sie in das gleiche Koordinatensystem die Parallelen zur y-Achse durch x= 1 und x= 4 und die Gerade y= -2.
    Die Parallelen zur y-Achse, die Gerade y= -2 und der Graph K4 begrenzen eine Fläche vollständig.
    Berechnen Sie den Inhalt dr Fläche!

    Ich habe keine Ahnung was das bedeutet, haben das noch nicht behandelt, sollen das aber ausarbeiten. Ich verstehe es aber überhaupt nicht! Danke für irgendeine Hilfe! Ich bin am Verzweifeln. :(
  • Hallo!


    Ich nehme mal an, daß Dir nur nicht klar ist, was eigentlich eine Kurvenschar ist, und Du deswegen momentan auch nicht sonderlich viel mit der Aufgabe anfangen kannst. Gebrochen rationale Funktionen werdet ihr vermutlich schon durchgenommen haben in der Analysis.

    Die Gleichung

    y = f(x)= a/x² - 4/x -2

    ist eine Gleichung mit 2 Parametern, wovon x ganz normal die Variable der Funktion ist. Genauso gut könnte da stehen:

    y = f(x)= 1/x² - 4/x -2

    Diese Gleichung gibt eine Menge von Punkten wieder, eben diejenigen Punkte, die auf der Kurve f(x) liegen, weil sie der Gleichung genügen ;)

    Eine Kurvenschar bedeutet nun, daß Du Dir jetzt nicht mehr eine bestimmte Kurve ansiehst, sondern eine Menge von Kurven. Der Parameter a hilf Dir dabei eine bestimmte Kurve auszuwählen. Sieh Dir beispielsweise die Ursprungsgerade an, welche die Steigung 1/2 hat. Bestimmt werden die Punkte durch die Funktion f(x) = x = x + 0
    Interessieren Dich jetzt alle dazu parallelen Geraden, hast Du eine Menge von Kurven
    f(x) = x + 0
    f(x) = x + 1
    ...
    f(x) = x + n

    oder allgemein und verkürzt: f(x) = x + a mit a€N

    Stell Dir einfach a als eine Zahl vor, von der Du momentan noch nicht weißt, wie sie lautet. Das nennt man 'allgemein rechnen' ;) Du sollst für eine Menge von Funktionen jetzt Nullstellen, Extrempunkte etc. bestimmen. Klar, daß a hier stehenbleiben wird. So wird für den Extrempunkt beispielsweise (4, a-7) rauskommen. Wenn Dich dann einer fragt: "Sag mal, für y = f(x)= 1/x² - 4/x -2, wie lautet denn da das Extremum?", brauchst Du nur noch (4, 1-7) ausrechnen, schon hast Du es.
    Vorsicht beim Ableiten! Wenn +a da steht, wird das zu +0. Ein +x wird hingegen zu +1, weil a eine stinknormale Zahl ist, und nicht der x-Wert der Funktion f(x).


    Hoffe das hilft Dir etwas ;)
    Linda
  • Kurvenschar

    Hallo Linda,

    erst mal vielen Dank für die schnelle Hilfe. Du hast recht, ich hatte keine Ahnung was eine Kurvenschar ist.

    Was mich noch etwas irretiert ist, das die Fkt. aus mehreren einzelnen Brüchen besteht. Ich kenne bisher nur Fkt. die ein Bruch sind, z.B: [f(x) = x²-16 / x-5].
    Hat das vielleicht etwas mit den Parametern zu tun? :confused:

    Was sind eigentlich Parameter? Woher weißt du das alles.:eek: Für mich ist Mathe ein Graus. Und bei solchen Aufgaben könnte ich :mad:
  • Na also komm, daran, daß hier mehrere einzelne Brüche stehen, soll es jetzt aber nicht scheitern ;) Das hat überhaupt nichts mit den Parametern zu tun, das ist lediglich eine andere Darstellungsweise ein und derselben Funktion.

    Wenn Du irgendwo nicht weiterkommst, mache Dir ein ganz simples Beispiel:

    Ich kann z.B. 1 darstellen als: 1/1 = 2/2 = 1/2 + 1/2 = 1/4 + 3/4 etc

    Nächstes Beispiel:

    3/5 + 4/7 = ?

    Wie geht man denn da vor, wenn man hier einen großen Bruch haben will? Richtig: Hauptnenner

    (3*7) / (5*7) + (4*5) / (7*5) = (3*7 + 4*5) / (7*5) = 41/35 (wenn ich mich nicht verrechnet habe :D)

    Wenn Du hier einen großen Bruch brauchst,

    y = f(x)= a/x² - 4/x -2 = a/x² - (4x)/(x*x) -(2)/ = (a - 4x -2x²) / x²


    Was Parameter sind? Du kannst auch Variablen, Unbekannte, Laufvariablen etc. sagen. In der Funktion y = f(x)= 1/x² - 4/x -2, ist x Dein Funktionsparameter. Durch die Gleichung wird, wie gesagt, eine Menge von Punkten definiert, die alle auf der Kurve der Funktion liegen. Das Spielchen läuft dann so ab: Du gibst mir einen x-Wert, und ich als Funktion geben Dir den zugehörigen y-Wert an der Stelle x. Wenn Du Kurvenscharen betrachtest, ist das nochmal eine weitere Verallgemeinerung. Richtigerweise müßte die Funktion so beschrieben sein:
    y = fa(x)= a/x² - 4/x -2
    Da läuft das Spielchen dann so ab: Du gibst mir einen x-Wert und sagst mir noch, welche Funktion Dich eigentlich interessiert (spezifiziert durch den Parameter a), und ich als Funktionenschar wähle Dir erst die gewünschte Funktion aus, und gebe Dir dann den y-Wert dazu. Wenn Du a allerdings einmal festgelegt hast, darfst Du den Parameter aber sinnvollerweise nicht mehr verändern für eine Kurvendiskussion. Also wenn Du einmal die Nullstellen für a=1 berechnest und dann die Extrempunkte für a=2, dann vergleichst Du eigentlich Äpfel mit Birnen, weil das 2 grundliegend verschiedene Funktionen sind. An x hingegen darfst Du drehen, wie Du lustig bist ;)

    Wo man sowas durchnimmt? Spätestens in der Kollegstufe, Leistungskurs Mathe. Da kam sowas dran ;) Aber eigentlich sind Kurvendiskussionen ein Thema für die 11. Klasse Analysis. Ob wir damals auch schon Funktionsscharen hatten, keine Ahnung. Kann sein. Schau mal in Deinem Mathebuch nach im Inhaltsverzeichnis. Vielleicht kommt da noch was.


    Linda