Integralrechnung

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  • Integralrechnung

    Hallo,

    ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

    Abgebildet ist der Graph einer quadratischen Parabel, wie muss u>0 gewählt werden, wenn der Inhalt der makierten Fläche 36 betragen soll?


    Zeichnung: PictureUpload (Hosted By PictureUpload.de)

    Ich hoffe, man erkennt es.


    Ich habe irgendwie keine tolle Idee, ich kann keinen Funktionsgraphen aufstellen, also kann ich auch keinen Flächeninhalt mit der x-Achse berechnen.
    Ich weiß auch nicht, in welchen Zusammenhang ich das u und u² bringen soll :/


    Jemand eine Idee?
    Soll ichs mit einem Rechteck probieren?
    ..[FONT="Palatino Linotype"][SIZE="4"] ich will lieber tanzen gehen.[/SIZE][/FONT]
  • Die Grundform einer Parabel ist ax² + bx + c
    Punkte (0,0) und (2u,0) einsetzen
    0 + 0 + c = 0 --> c = 0
    4u²*a + 2u*b = 0 //vllcht brauchste es

    Das abgeleitet ist 2ax + b. Das muss bei einem Extremwert 0 sein. Nun siehst du ja schon was dein Extrempunkt für Koords hat, nämlich (u;u²)
    --> 2au + b = 0
    2a < 0 (zweite Ableitung negativ, da es ja ein Hochpunkt ist) --> a < 0
    So wirst du dir irgendwie a,b,c ausrechnen müssen.

    Den Flächeninhalt bekommst du durch integrieren in in den Grenzen der Nullstellen, das wäre ja hier 0..2u
    Die integrierte Formel von oben lautet (a/3)*x³ + (b/2)*x²
    jetzt die beiden werte einsetzen und die Formel mit dem unteren Grenzwert (hier 0) von der mit dem oberen GW (2u) abziehen, also:

    ((a/3)*8u³ + (b/2)*4u²) - 0 = 36.

    Hier müsstest du die oben errechneten Werte einseten.
    [SIZE="1"]User helfen Usern: Die FSB-Tutoren

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  • ich verstehe das nicht,

    also was ich verstehe

    u|u² ist ein Scheitelpunkt -> Hochpunkt

    die Funktionsgleichung ist ax²+bx=f(x), weil es den Punkt 0|0 gibt.

    f(u)=u²
    f'(u)=0

    und wie weiter? :(
    ..[FONT="Palatino Linotype"][SIZE="4"] ich will lieber tanzen gehen.[/SIZE][/FONT]
  • Naja müsli, jetzt hast Du es doch schon fast.

    Die Formel für Deine Parabel lautet:
    f(x) = ax²+bx

    Das integrierst Du jetzt nur noch zu:
    F(x) = (a/3)*x³ + (b/2)*x² + const (uneigentliches Integral)

    Da bei Deiner Parabel der Punkt
    f(0) = 0 und
    f(u) = u² (Extrempunkt)
    bekannt sind, und die Parabel achsensymmetrisch ist, muß die Parabel an der Stelle 2u die X-Achse erneut schneiden. Damit ist Dein Integrationsintervall vorgegeben: [0, 2u].

    Und das setzt Du jetzt oben ein:
    Fläche = F(2u) - F(0) = F(2u)
    Der const. Faktor aus F(x) (uneigentliches Integral) enfällt, wenn wir mit Intervallgrenzen rechnen, und F(0) ergibt sowieso 0, so daß die Fläche nur von F(2u) abhängt. Und die muß laut Vorgabe 36 ergeben, also:

    Fläche = F(2u) - F(0) = F(2u) = 36

    Einsetzen, auflösen, Spaß haben ;)


    HTH,
    Linda
  • Ja :)

    Und u ist die x-Koordinate des Hochpunktes oder nicht?

    Was soll ich also für u einsetzen?

    Der Hochpunkt ist ja gleichzeitig ein Scheitelpunkt, also (-b/(2a)) .. das soll ich also für u einsetzen uns ausrechnen?
    ..[FONT="Palatino Linotype"][SIZE="4"] ich will lieber tanzen gehen.[/SIZE][/FONT]