Beweise: Satz des Pythagoras

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  • Moin,

    hab jetzt nachdem ich weiter recherchiert hab, den Beweis zum Satz des Pythagoras und für den Höhensatz kapiert, jedoch finde ich keine für mich verständliche Erläuterung zum Beweis des Kathetensatzes.

    Kann mir da wer beim Beweis des Kathetensatzes helfen?
  • hi

    da ich nicht weiss ob du einen geometrischen oder einen mathematischen beweis sucht gebe ich dir mal den mathematischen da er leichter zu posten ist... xP



    (hier der Link falls das Bild nicht funktionieren sollte)

    ok aus diesm Dreieck erkennen wir dass aufgrund des Satzes des Pythagoras folgendes gilt:
    a²=p²+h² und
    b²=q²+h²

    außerdem lässt sich noch Folgendes erkennen:
    p+q=c

    wenn man diese Gleichung quadriert erhält man:
    (p+q)²=c²

    was wiederum aufgrund der ersten binomischen Formel diese Gleichung ergibt:
    c²=p²+2pq+q²

    wenn man nun in den nach a² umgeformten Satz des Pythagoras (a²=c²-b²) diese Gleichungen einsetzt erhält man:
    a²=(p²+2pq+q²)-(h²+q²)

    nach auflösen der klammern und zusammenfassen ergibt dies:
    a²=p²+2pq-h² da die q² wegfallen

    nun kann man auch die Formel a²=p²+h² auf h² umformen (h²=a²-p²) und einsetzen:
    a²=p²+2pq-(a²-p²)=p²+2pq-a²+p²=2p²+2pq-a²

    wenn man nun wieder nach a² umformt erhält man:
    2a²=2p²+2pq

    wobei sofort ersichtlich ist dass die gesamte Gleichung durch 2 dividiert werden kann:
    a²=p²+pq

    nun hebt man in der rechten Seite der Gleichung ein p heraus, was dann Folgendes ergibt:
    a²=p(p+q)

    nun muss man nur noch für das p+q ein c einsetzen (da p+q=c) und man ist bei der gesuchten Lösung angelangt:
    a²=pc

    In derselben Art und Weise lässt sich auch zeigen dass b²=qc


    Ich hoffe das war dir eine Hilfe^^

    lg disi