Matheaufgabe Parameterbestimmung

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  • Matheaufgabe Parameterbestimmung

    Also, wie der Titel schon sagt ;)

    Hier die Aufgabe:

    1. Eine Funktion dritten Grades hat im Punkt (0/2) ihren Wendepunkt! Und im Punkt (4/0) eine Steigung von m=2.

    a) Bestimmen sie die Funktion.
    b) Berechnen Sie die Nullstellen / Extremwerte & Wendepunkte der Funktion
    c) Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie und Monotonie.


    Würde mich über Lösungen sehr freuen.

    mfg
    Panio
  • Pass auf ich geb dir mal nen Ansatz!

    3. Grades bedeutet
    y=ax³+bx²+cx+d
    1. ableitung f´(x)=3ax²+2bx+c
    und dann 2abl und so weiter!

    SO jetz hast du ja die Punkte gegeben!
    Zum beispiel liegt der Wendepunkt ja auf der Geraden aber du weisst ja auch das du in der Ableitung den Wendepunkt krigst!

    DU musst halt für x und y immer die Punkte einsetzen so das du am Ende ein Gleichungssystem bekommst und so a,b,c und d ausrechnen kannst!
    Falls dus garnet verstehst schreib nochma dann kann ich dirs ma ausrechnen, is aber wirklich net schwer!

    MfG Martinie
    Hier war mal ne Signatur doch die is jetz jetzt ausgezogen und wohnt irgendwo anders!
  • REchne selber!

    Eine Funktion dritten Grades, also brauchst du 4 Gleichungen.

    Immer erst schauen, ob Punkte der Funktion gegeben sind, dann schauen, ob Extrempunkte oder Steigungen gegeben sind, dann schauen, ob Wendepunkte gegeben sind.

    f(x) = a x³ + b x² + c x + d

    f '(x) = 3 a x² + 2 b x + c

    f ''(x) = 6 a x + 2b

    Punkt (0/2) ist ein Punkt auf dem Graph, also in die Ausgangsgleichung einsetzen. f(0) = 2

    Punkt (0/2) ist ein Wendpunkt, also x = 0 in die 2. Ableitung einsetzen. f ''(0) = 0

    Punkt (4/0) ist ein Punkt auf dem Graph, also in die Ausgangsgleichung einsetzen. f(4) = 0

    Im Punkt (4/0) ist die Steigung = 2, also f ' (4) = 2 setzen


    Versuch's jetzt mal selber. Schreib notfalls hier rein, was du hinkriegst und im Notfall helfen wir dir weiter.
  • Paniomania schrieb:

    1. Eine Funktion dritten Grades hat im Punkt (0/2) ihren Wendepunkt! Und im Punkt (4/0) eine Steigung von m=2.

    a) Bestimmen sie die Funktion.
    b) Berechnen Sie die Nullstellen / Extremwerte & Wendepunkte der Funktion
    c) Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie und Monotonie.

    a)
    1. f(0) = 2
    2. f(4) = 0
    3. f''(0) = 0
    4. f'(4) = 2

    f(x) = (5/64)x^3 - 1,75x + 2

    5. f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
    6. f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
    7. f''(x) = 6ax + 2b

    Aus 7. und 3. folgt b = 0
    Aus 1. und 5. folgt d = 2

    f'(4) = 48a + c = 2 -> c = 2 - 48a

    f(4) = 64a + 4c + 2 = 64a + 4(2-48a) + 2 = 10 - 128a = 0
    a = 5/64
    c = -1,75

    => f(x) = (5/64)x^3 - 1,75x + 2

    b) und c) [...]

    fu_mo

    //edit: sry mckilroy - wenn du willst, dass er's selbst rechnet, musst meinen beitrag aendern oder mir sagen, dass ich's machen soll - nachdem ich's jetzt gerechnet hab (um zu sehen, ob ich in den 1,5 Monaten seit Mathe-Abi verkalkt bin^^) lass ich's erstmal stehen^^
  • Vielen Dank,
    So richtig Probleme hatte ich nur bei der Parameterbestimmung, also beim Aufstellen der Bedingungen.

    Eine Frage, könntet ihr mir erklären warum, wenn der Graph beim Punkt (4/0) eine Steinung von m=2 hat die Bedingung für die Steigung lautet:
    f ' (4) = 2

    - edit: die Monotonie und Sy. Bestimmung krieg ich leider auch nicht hin =/

    der Rest ist verständlich ;)
    danke!
  • Symmetrie: Da die Funktionsgleichung ganzrational ist und die Exponenten von x alle ungerade sind, ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.
    Koenntest du auch so nachweisen, indem du zeigst, dass f(x) = f(-x) eine wahre Aussage ist.

    Zu der Monotonie: Ermittle die Extrema und wenn du dann nicht weisst, wie die Funktion aussieht, zeichne sie. Dann musste halt angeben, in welchem Intervall sie monoton steigt und in welchem sie faellt - hab halt grad kein Bock das zu machen (das sollte man aus meiner Sicht selbst als daemlichster Grundkursler auf die Reihe bringen - denn ausser dass sich das kompliziert anhoert, is' da nix dabei. Lass dich also nicht abschrecken)

    fu_mo
  • Gut, eine Frage hätte ich dann noch:
    Es gibt eine Aufgabe, wo ich bei den Bedingungen ein Problem habe:

    Für eine Kostenfunktion K(x) = ax³ + bx² + cx + d sind die Koeffizienten zu bestimmen, dass im Punkt P(5/43,333) das Grenzkostenminimum liegt. Die Steigung in diesem Punkt beträgt m = 1.
    >>>Die Fixkosten betragen 30 Geldeinheiten (GE) <<<
    An welchen Punkten hat der Graph dann die Steigung m = 2?

    Ich habe die Bedingungen wie folgt gestellt:

    K(x) = ax³ + bx² + cx + d
    K'(x) = 3ax² + 2bx + c
    K''(x) = 6ax + 2b

    1. f(5) = 43,33 - Da Punkt auf dem Graphen liegt.
    2. f'(5) = 1 - Weil Steigung im Punkt (5/43,33) m= 1 ist.
    3. f''(5) = 0 - Weil Grenkostenminimum (Nullstelle 2. Ableitung) ist.

    Die Frage ist nun, sind diese Drei Bedingungen soweit richtig und wie gehe ich mit den Fixkosten um? Bzw. wie bilde ich die 4. Bedingung und wie beantworte ich dann die Frage an welchem Punkt die Steigung m=2 ist?

    Würde mich sehr über eine aufschlussreiche Antwort freuen.

    mfg
    PanIo
  • Hallo,
    leider kann ich mit dem Begriff "Grenzkostenminimum" nichts anfangen... aber Du fragst ja auch, ob Deine Bedingungen richtig sind und wie Du die Stelle findest, wo m=2 ist.
    Zu den Bedingungen:
    1. f(5) = 43,33 - Da Punkt auf dem Graphen liegt. (Richtig - aus der Angabe)
    2. f'(5) = 1 - Weil Steigung im Punkt (5/43,33) m= 1 ist. (Richtig - aus der Angabe)
    3. f''(5) = 0 - Weil Grenkostenminimum (Nullstelle 2. Ableitung) ist. (Weiß ich leider nicht, siehe oben)

    Zu m=2:
    Du nimmst die erste Ableitung (ist ja gerade die Steigung!) und setzt sie gleich 2, also:
    f'(x)=3ax² + 2bx + c=2
    Das ist eine quadratische Gleichung und hoffentlich Standard ;)

    Weitere Aussagen kann ich nicht sicher machen. Ich spekuliere jetzt ein bißchen:
    Ich frag mich, warum in der Angabe steht, daß die Fixkosten = 30 sein sollen? Könnte das der Parameter (die Konstante) d sein? Das hätte aber dann keine Auswirkung auf die Steigung, da das d (Konstante!) ja beim Ableiten wegfällt.

    Mich wundert nur, daß bei irgendeinem (auch wenn es "Grenzkosten" mit Vornamen heißt) MINIMUM die Steigung nicht 0 ist? Aber ich muß ja auch nicht alles verstehen.
    Hoffe, ich konnte etwas helfen
    Grüße, Statler
  • Also das Grenzkostenminimum ist definitiv die Nullstelle der 2. Ableitung.
    Also sollte die Bedingung schon richtig sein.

    Meine Vermutung war, dass die 4. Bedingung f(0) = 30 ist

    Also das würde ja bedeuten, dass man ALLE Parameter richtig bestimmen muss und dann die Ableitung der hergeleiteten Funktion gleich m=2 setzen muss.
    also 2 = f'(x).

    Klar soweit und dann einfach den X-Wert ausrechnen und in die Grundfunktion einsetzen, damit man den Y-Wert herausbekommt, richtig?
  • Deine Vermutung war schon richtig.

    Fixkosten bedeutet: das sind die Kosten, die unabhängig von der hergestellten Menge sind, also unabhängig von x.

    Daher ist wie du gesagt hast: f(0) = 30 oder eben d = 30.

    Damit hast du wieder deine 4 Gleichungen und kannst die Aufgabe entsprechend der anderen Aufgabe lösen.


    Deine restlichen GEdanken sind auch richtig.


    Hier ein Link hinsichtlich Grenzkostenminimum:

    Matroids Matheplanet - Die Mathe Redaktion - Portal Mathematik
  • Also nun habe ich folgende Bedingungen:

    1. f(5) = 43,333
    2. f''(5) = 0
    3. f'(5) = 1
    4. f(0) = 30

    Dann habe ich wie folgt gerechnet:

    Zu 1.)
    43,333 = a*(5)³ + b * (5)² + c*5 + d
    43,333 = 125a + 25b + 5c + d

    ...

    Zu 2.)
    0 = 6a * 5 + 2b
    b= -15a

    Zu 3.)
    1 = 3a * (5)² + 2b * (5) + c
    1 = 75a + 10b + c
    ...?

    Zu 4.)
    30 = a *0³ + b*0² + c*0 + d
    d = 30

    So und nun habe ich d=30 und b = -15a, aber wie löse ich nun die Gleichung? =( ich bin am verzweifeln.

    EDIT: Hat sich erledigt ;) Matheklausur wurde heute geschrieben und ich habe ein recht gutes Gefühl - Wen es interessiert habe diese Gleichung mithilfe eines grafischen Taschenrechners und mit Hilfe eines Matrixen-Programmes erfolgreich gelöst ;)!