Mathe | Extremwertprobleme - Aufgabe

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  • Mathe | Extremwertprobleme - Aufgabe

    Hi Leute :)

    Bräuchte da mal Hilfe für eine Aufgabe in Mathe (bin in der 11. Klasse Gymnasium, falls es irgendjemanden interessiert wo man so nen Käse macht ;) )

    Ich hoffe da kennt sich jemand damit aus, denn ich muss das ganze auf eine Folie schreiben und vor der Klasse vortragen, da meine Note als einzige noch nicht fest steht. (-> natürlich will ich die bessere, dazu muss ich aber die aufgabe haben^^)


    Also:

    Gegeben ist die Funktion f durch f(x)= (1/6)x³-(3/2)x

    Der Punkt P liegt im 2. Feld auf dem Schaubild von f. Die Gerade OP, die x-Achse sowie die Parallele zuy y-Achse durch P begrenzen ein Dreieck.
    Untersuchen Sie, ob es eine Lage des Punktes P gibt, für die der Inhalt dieses Dreiecks einen extremalen Wert annimmt und bestimmen sie gegebenenfalls die Art des Extremums.


    Vielen Dank schon mal ;)
  • P(x_p/y_p)
    y_p = f(x_p)

    A = 0.5 (-x_p) (y_p)
    A = -0.5 x_p y_p
    A = -0.5 x_p ((1/6)x_p^3-1.5x_p)

    A = -1/12 * x_p^4 + 0.75x_p^2

    dA/dx_p = A'(x_p) = -1/3 * x_p^3 + 1.5 * x_p

    Nullstellen von A':
    x_p_1 = 0 (entfaellt)
    x_p_2 = sqrt(4.5) (entfaellt)
    x_p_3 = -sqrt(4.5) ~ 2,121320344

    dA'/dx_p = A''(x_p) = -x_p^2 + 1.5

    A''(-sqrt(4.5)) = -3 => A hat ein lokales Maximum bei x_p = -sqrt(4.5)

    A(sqrt(4.5)) = 1.6875 (Flaecheneinheiten)

    fu_mo

    PS.: ich garantiere nicht, dass das richtig ist..
  • Ja. Man kann es auch wie folgt etwas ausfuehrlicher machen:

    A = |0.5 x_p y_p |
    Da der Term zwischen den Betragsstrichen negativ ist, multipliziert man ihn mit (-1) und kann dann die Betragsstriche weglassen.

    fu_mo

    //edit & PS.: du musst ggf. noch nachweisen, dass das gleichzeitig das globale Maximum ist - also du muesstest noch erwaehnen, dass fuer x_p = 0 und fuer x_p = -3 (die "linke" Nullstelle der Funktion f) der Flaecheninhalt 0 ist.