Mathe - komplexe Zahlen

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    hy!

    kann jemand diese Gleichung lösen?? wie bekomme ich das i weg, dass nur noch eine quadr. gleichung übrig bleibt?

    ix² - (1 + i) · x + 1 = 0

    THX

    Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von MisterXYZ ()

  • Du mußt das i gar nicht wegbekommen.

    Verwende die Lösungsformel und setze die Koeffizienten entsprechend ein.
    Also:
    x= (-b)+-[sqrt(b^2-4*a*c)] / 2*a
    mit
    a = i
    b = -(1+i)
    c = 1

    Da Du im Nenner dann (2*i) stehen hast, wirst Du noch mit dem konjugiert Komplexen davon erweitern müssen, also (-2*i), damit Du einen reellen Nenner kriegst.
    Wenn Du unter der Wurzel etwas Negatives rausbekommst, schreib den Faktor (-1) eben als i^2, dann kannst Du die Wurzel daraus ziehen.

    Hoffentlich hilfts,
    Grüße, Statler

    Dieser Beitrag wurde bereits 2 mal editiert, zuletzt von Statler () aus folgendem Grund: hatte das Vorzeichen beim Koeff b übersehen...

  • Ich hätte eine Lösung, jedoch ohne quadratische Gleichung:

    ix² - (1 + i) · x + 1 = 0
    ix²-x-ix+1=0
    i*(x²-x)+(1-x)=0

    Somit muss (x²-x) Null werden und (1-x) auch.

    x²-x=0
    1-x=0
    Gleichsetzen:
    x²-x=1-x
    Addiere +x
    x²=1
    x=1

    Probe stimmt!

    Es gibt aber vlt. noch eine Lösung:
    i*(x²-x) muss gleich -( (1-x) ) sein....

    Nur -i ( und 1) erfüllt die Gleichung, muss aber noch nen Lösungsweg finden...

    Also:
    Man kann die 2.Lösung nur mit der Lösungsformel finden, so wie Statler es beschreibt:
    Die Formel, die ich verwende ist: x1,x2=-p/2 +bzw.- Wurzel aus ( p²/4 - q)
    ix² - (1 + i) · x + 1 = 0 durch i
    x²+ ( -x - x/i ) +(1/i)=0
    p=( -1 - 1/i )
    q=(1/i)

    Edit:Hab aus Versehen das x mit in p genommen :depp:

    x1,x2= -( -1 - 1/i )/2 +bzw.- Wurzel aus (( -1 - 1/i )²/4 -(1/i))

    Da werden wohl 1 und -i rauskommen!

    Dieser Beitrag wurde bereits 10 mal editiert, zuletzt von alexanderk. ()

  • Hab grad noch ein bißchen Zeit... ;)

    und rechne meinen Lösungsweg mal durch. Wegen der Formel, die hier schlecht einzutippen ist, mach ich mal erst nur den Zähler:
    (1+i)+-(sqrt [-(1+i)^2-4*i*1]
    = (1+i)+-(sqrt [2*i - 4*i])
    = (1+i)+-(sqrt (-2*i))

    Die Wurzel ist jetzt etwas blöd, das geb ich zu. Ich schreib sie mal etwas um:
    (sqrt (-2*i)) = sqrt (-2)*sqrt (i) (Potenzgesetz!)
    ... = i*sqrt(2)*[(1+i)/sqrt(2)] (anders rum: [(1+i)/sqrt(2)]^2 = i; bitte nachrechnen...) (*)
    ...= i*(1+i) (Wurzel 2 gekürzt)
    ...= -1+i (ausmultipliziert).

    Also steht im Zähler: (1+i)+-(-1+i)
    Fall "+": ergibt 2i; mit dem Nenner dann also 1 (Hurra!!!)
    Fall "-" ergibt 2; mit dem Nenner dann also 1/i = -i

    Die Probe überlaß ich Dir ;) aber bitte mach sie! Das hab ich jetzt alles nurim Kopf gemacht!

    Zu der Zeile (*): Man müßte also sqrt (i) wissen. Ich weiß nicht, ob Dir die das Wort "Polarform" was sagt: i= E(90°)=E(pi/2) .
    Damit kann man die Wurzel im Gegensatz zur Koordinatenform leicht berechnen. Wenn nicht, Wikipedia wird da bestimmt was dazu wissen, aber das würde hier wohl zu lang. Notfalls mußt Du halt einfach akzeptieren/nachrechnen(!!), daß die Zeile (*) stimmt.

    @ alexanderk.
    Also erst mal: schön, daß Du Dich da auch rantraust. Dein Weg führt ja auch zu einer richtigen Lösung, aber mir ist da etwas unwohl. Sicher richtig wäre Dein Weg, wenn Du aus Deiner letzten Zeile folgendes machst:
    i*(x²-x)+(1-x)=0
    i*(x-1)*x+(1-x)=0; (x aus der ersten Klammer ausgeklammert)
    (-1)*i*(1-x)*x+(1-x)=0; jetzt kannst Du den Faktor (1-x) ausklammern:
    (1-x)*[-i*x + 1]=0; und jetzt sieht man auch die Lösungen direkt:
    x=1, wie Du richtig sagst und
    x=-i, weil das die zweite Klammer zu 0 macht. Gottseidank stimmt das mit meinem Lösungsweg überein ;)

    "Meinen" Lösungsweg würde ich als den "Standardweg" bezeichnen, der eigentlich immer funktioniert; Deine Lösung hat Glück, weil der Faktor (1-x) in beiden Summanden nach dem Ausmultiplizieren drinsteckt und Du ihn ausklammern kannst. Aber das muß man ja auch erst mal sehen.

    Noch ein Weg: wenn man schon weiß, daß x=1 dei Gleichung löst, könnte man auch Polynomdivision anwenden, dh das Ausgangspolynom durch die Nullstelle dividieren:
    [ix² - (1 + i) · x + 1 ] / (x-1) =...
    Das MUSS ohne Rest aufgehen.


    Grüße, Statler
    @MisterXYZ:
    hab grad noch Deine Antwort gelesen, bevor ich das obige posten wollte.
    Ziehst Du das x mit in die Lösungsformel? Da gehts aber nur um die Koeffizienten. Versuch mal, meinen Weg nachzurechnen ;)