Extremwertproblemen

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  • Extremwertproblemen

    Hi,

    hab hier ein Problem bei folgender Aufgabestellung:

    Der schwarze Kreis sei eine Kugel.
    Das blaue Rechteck ein Zylinder.
    Aufgabe ist es aus der Kugel einen möglichst großen (Volumen) Zylinder zu machen. Gegeben ist r=4cm.



    Kriegt das jemand hin? Mag vielleicht für den Ein oder Anderen einfach sein, für mich nicht :D

    thx beaviz
  • Als 1. legst du deinen Kreis in den Koordinatenursprung. Dadurch ergibt sich anschaulich die Beziehung r²=(h/2)²+R² (1), wobei R der Radius des Zylinders ist.
    Als nächstes kennst du ja die Gleichung für die Berechnung des Volumes eines Zylinders, nämlich V=Pi*R²*h (2). Da die Zylinder oberhalb und unterhalb der x-Achse gleich groß sind, brauchst du nur den Zylinder oberhalb betrachten, dessen Volumen dann die Hälfte des Ausgangszylinders beträgt. Vo=Pi*R²*h/2 (3).
    Dann stellst du (1) nach R² um, setzt dies in (3) ein und erhälst
    V=Pi*r²*h/2-3/8*Pi*h². Dies leitest(differenzieren) du ab und setzt dies gleich =0. Danach stellst du nach h um und erhälst
    h=(4/3*r²)^(0,5).
    Mit dem errechneten Wert von h kannst du R berechnen und dann das Volumen deines Zylinders.
  • Hi, habs jetzt ma nach deiner Anleitung probiert, komm aber nicht auf dein Ergebnis. Hab immer 8cm für h raus, was aber unmöglich ist, weil das der Durchmesser der Kugel ist. Und ich glaube das man mit R/2² rechnen muss, weil R alleine der Durchmesser des Zylinders ist. Also würde die Beziehung so aussehen:

    r²=h/2² + R/2²

    Daraus folgt diese Formel für das Volumen des Zylinders:
    V=PI*R/2²*h

    Dann hab ich die Beziehung umgestellt:
    r² - h/2² = R/2²

    Dann einsetzen in die Volumenformel:
    V=Pi*(r² - h/2²)*h

    Daraus die Ableitung müsste folgende sein:
    V'=2r-h

    Also würde das Ergebnis 8cm lauten, was aber nicht geht, den das ist der Durchmesser.

    Hat jemand ne Idee wo der Denkfehler liegt?
    thx beaviz
  • Beachte bitte, dass R bei mir der Radius des Zylinders ist und nicht wie bei dir der Durchmesser.

    Wenn du R als Durchmesser nimmst dann folgt für das Volumen des gesamten Zlinders V=Pi*(R/2)²*h=Pi*R²/4*h und für den Zylinder oberhalb der x-Achse dementsprechend Vo(o=oben)=Pi*(R/2)²*h/2=Pi*R²/4*h/2.

    Die Beziehung die du ansprichst ist der Satz des Pythagoras und du musst beachten, dass da (h/2)²=h²/4 da stehen muss, analog für R/2.

    Dann ergibt sich, dass deine oben genannte Ableitung falsch ist.(Man muss nur nach h ableiten und nicht wie du es gemacht hast. Außerdem fehlt dein Pi, dieses verschwindet nicht nach dem ableiten.

    Viel Erfolg.
  • Ok, das hab ich mittlerweile auch rausgefunden, dass die Ableitung nicht stimmt :D

    Also wenn ich jetzt einsetze, sieht das so aus:

    V=PI*(r²-h/2²)*h
    Wie sieht die Ableitung jetzt genau aus?
    V'=PI*(2r-h)*h ?
    Und wo kommt bei dir das 2. PI her? Woher die -3/8?
    Hab da den Durchblick verloren. Kannst du vielleicht nochmal nach und nach die Ableitungen posten?
    Auf jeden Fall erstma dickes thx für die Hilfe.
  • Du musst ausmultiplizieren, dann geht das ableiten viel einfacher ansonsten musst du nämlich die Kettenregel beachten also:

    V=Pi*r²*h-Pi*(h^3)/4 (bei mir steht hier 3/8 weil ich ja nur den halben Zylinder betrachte und du den ganzen)

    V'=Pi*r²-Pi*3/4*h²=0 => r²-3/4*h²=0 und dann kommste auf die Lösung