LK-Mathematik 3. Semester

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  • HA von LK-Mathematik 3. Semester

    Hi

    also ich habe ne fette Hausaufgabe aufbekommen!!!

    [indent]
    1. Konstruieren Sie ein LGS, das die Lösungsmenge L = {(2-c; 4+2c ; c),c Element R} hat.
    2. Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat bei x=2 eine Nullstelle, ein Minimum im Punkt T (1|-3) und eine Wendestelle bei x=1/3.
      Wie lautet die Funktionsgleichung?
    3. Aus den tabellarisch gegebenen Nährlösungen soll eine neue Lösung hergestellt werden, die 70% Wasser, 20% Kolenhydrate und 10% Eiweiß enthält. Es soll eine Gesamtmenge von 50l erstellt werden. Welche Mengen der einzelnen Lösungen werden hierfür benötigt?

      Quellcode

      1. Lösung I: 60% Wasser, 25% Kohlenhydrate und 15% Eiweiß
      2. Lösung II: 50% Wasser, 25% Kohlenhydrate und 25% Eiweiß
      3. Lösung III: 80% Wasser, 15% Kohlenhydrate und 5% Eiweiß
    [/indent]Aufgabenzusatz:
    Dazu sollen wir noch anhand von uns selbst erstellte Proben zeigen, dass diese Lösung richtig ist!!! Hm... hab keinen Schimmer!!!
    Außerdem soll ein kommentierender Text erstellt werden, der diese Aufgaben dokumentiert!!!

    zu 1.
    Diesbezüglich hab ich keine Ahnung wie der Ansatz lautet, dachte immer an: ax+by+cz+d=0, aber irgendwie glaub ich nicht, dass das beides zusammenhäbngt!

    zu 2.
    Also, die gesuchte Funktion lautet f(x)=ax³+bx²+cx+d.
    Deren Ableitungen lauten: f'(x)=3ax²+2bx+c; f''(x)=6ax+2b
    Es liegt eine Nullestelle bei x=2 vor, d.h.
    Gleichung I f(x=2)=8a+4b+2c+d=0
    Die zweite und dritte Gleichung entsteht durch das Minimum an Punkt T(1|-3)
    Gleichung II f(=1)=a+b+c+d=-3
    Die drite Gleichung ist die Steigung, also die erste Ableitung davon:
    Gleichung III f'(x=1)=3a+2b+c=0
    Zu guter Letzt erfolgt die vierte GLeichung aus dem Wendepunkt an der Stelle x=1/3
    Gleichung IV f''(x=1/3)=2a+2b=0

    Das dazugehörige LGS hat folgedes berechnet:
    a=-1; b=1; c=1; d=2

    Also lautet die Funktionsgleichung:
    f(x) = - x³ + x² + x + 2
    Ich bitte um Überprüfung, ob diese Lösung richtig ist!!!

    zu 3.
    Ich dacht es mir so, da man aus den drei Lösungen eine Lösung machen soll erstellt man einfach ein LGS und als Ergebnisse kommt die Zusammensetzung der neuen Lösung

    Brainfuck-Quellcode

    1. x y z |
    2. ---------------+----
    3. 0,60 0,50 0,80 | 0,70 [Gleichung I: Wasseranteil]
    4. 0,25 0,25 0,15 | 0,20 [Gleichung II: Kohlenhydratanteil]
    5. 0,15 0,20 0,05 | 0,10 [Gleichung III: Eiweißanteil]
    Somit hab ich ein LGS was man ausrechnen kann.
    Aber jetzt hab ich ein Problem, da ich nicht weiß, ob ich es bei Dezimalzahlen belassen soll oder lieber mit Brüchen rechnen soll, da ich es ausführlich machen soll!? Es ist beides kompliziert und schwer, da man sich leicht verschaut.

    Auf jeden Fall löste ein Prog das LGS mit der Lösung:
    x=1/2; y=0; z=1/2
  • Lösung Aufgabe 3.

    Also, sobald man sich ein LGS aufgebaut hat, so wie dieses

    Brainfuck-Quellcode

    1. x y z |
    2. ---------------+----
    3. 0,60 0,50 0,80 | 0,70 [Gleichung I: Wasseranteil]
    4. 0,25 0,25 0,15 | 0,20 [Gleichung II: Kohlenhydratanteil]
    5. 0,15 0,20 0,05 | 0,10 [Gleichung III: Eiweißanteil]
    So kann man dieses LGS vereinfachen, indem man ein Vielfaches von den gleichungen benutzt.
    Da, ich erinnere nochmal, ein Vielfaches einer Gleichung die Lösung nicht beeinträchtigt.
    Somit sieht das LGS dann wie folgt aus

    Brainfuck-Quellcode

    1. x y z |
    2. ------------+----
    3. 60 50 80 | 70 [Gleichung I: Wasseranteil]
    4. 25 25 15 | 20 [Gleichung II: Kohlenhydratanteil]
    5. 15 20 5 | 10 [Gleichung III: Eiweißanteil]
    Die Lösung lautet
    x = 1/2
    y = 0
    z = 1/2