Beschränktheit von Folgen

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  • Beschränktheit von Folgen

    Hallo!
    Ich schreibe morgen eine Klausur die über Folgen und Reihen geht und ich habe keine Ahnung wie ich die Beschränktheit einer Folge beweisen kann! Kann mir da einer mit einem Beispiel ein paar Erläuterungen dazu geben? Zum Beispiel die Folge n²-n Man sieht ja das sie nach oben unbeschränkt ist und nach unten beschränkt, die untere Schranke ist ja 0, aber wie soll ich das beweisen? Hoffe jemand kann mir helfen (ich denke mal das man auch ein schwierigeres Beispiel nehmen könnte ;) )
    MfG, KrEeSKor04

    EDIT: Noch eine SUPERDÄMLICHE Frage über die ihr euch totlachen könnt :D
    Wenn ich zum Beispiel n/2n+1 habe und ich einfach nur 1 dazumachen will, wo kommt die 1 hin? heißt es dann n+1/2n+1 oder n/2n+2 oder doch ganz anders? Bitte beschreiben wie man das erkennt ^^ Danke und MfG, KrEeSKor04
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  • also, das is ganz einfach. Als Beispiel nehme ich deins "n²-n". Als erstes musst du hinschreiben, dass du den grenzwert berechnen wilst --> Limes und der läuft je nach dem , bei dir gg. 0. Nun musst du das größte n ausklammern n²(1-(n/n²). Damit hast du bewiesen, dass n gg. 1 läuft.
  • 1) An den Fragesteller:

    Die Arbeit ist dir bestimmt nicht überraschend gestern angekündigt worden. Stell solche Fragen also demnächst rechtzeitig!! Dann kann dir auch einer vernünftig antworten.


    2) An mmorpgh

    Bitte antwortet nur, wenn ihr wenigstens ein kleines bischen Durchblick habt!


    Zur Frage:

    Folge: n² - n

    A) Monotonie:

    Folge steigt für f' > 0 also für 2n - 1 > 0 (1. Ableitung)
    => 2n > 1 oder n > 1/2

    Folge fällt für f' < 0 also für n < 1/2


    Die untere Schranke ist also der Wert, den die Folge für n = 1/2 annimmt (Diese Schranke ist trivial und muss nicht weiter bewiesen werden).

    Der Wert für n = 1/2 ist also (1/2)² - 1/2 = -1/4 oder (-0,25) :D

    Also untere Schranke = -1/4


    Jetzt noch untersuchen, ob es auch eine obere Schranke gibt (gibt's natürlich nicht, sieht man ja direkt aus der Folge)

    Da war der Ansatz von mmorpgh sogar nicht falsch nur die Folgerung nicht! n² ausklammern

    n² (1 - 1/n)

    für n gegen unendlich fällt 1/n natürlich weg und übrig bleibt n² * 1 und das läuft natürlich für n gegen (+ unendlich) und auch für n gegen (- unendlich) gegen (+ unendlich) und nicht gegen 1.



    Wenn ich zum Beispiel n/2n+1 habe und ich einfach nur 1 dazumachen will, wo kommt die 1 hin? heißt es dann n+1/2n+1 oder n/2n+2 oder doch ganz anders? Bitte beschreiben wie man das erkennt ^^ Danke und MfG, KrEeSKor04


    Es ist nicht so ganz klar, was du meinst. Aber ich nehme an, dass n um 1 größer werden soll. Einfach n durch (n+1) ersetzen

    dann: n/2n+1 wird zu: (n+1)/2(n+1)+1 => n+1/2n+2+1 => n+1/2n+3
  • @ McKilroy:
    Ja ich weiß ich habe es verpeilt das ich eine Arbeit schreibe, deshalb habe ich die Frage so spät gestellt :D Und zu deiner Erklärung: Im Grunde richtig, nur das n nicht 1/2 sein kann, weil 1/2 keine natürliche Zahl ist :) Und: Ich glaube das ich so um die 7-8 Punkte schon schaffen werde, was mir in Mathe auch reicht :löl:
    EDIT: Ahja, wir haben das ganz anders gelernt, wie man Monotonie beweisen kann, also ohne Ableitungsfunktion, sondern das jedes Folgeglied größer bzw. kleiner sein muss als das Ausgangsglied (Ausgangsglied z.B. n , das Folgeglied ist dann n+1) Dann sähe der Beweis so aus (vollkommen trivial aber ok :D) n < n+1 Dann geteilt durch n -> 1<1+1 1<2 Somit ist das bewiesen (warum habe ich nur Mathe-Profil genommen :flag: :löl: )

    MfG, KrEeSKor04
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