Algebraisch die Nullstelle der Funktion ermitteln. Benötige Hilfe

[kingp776]

Ich bräuchte dringend Hilfe bei einer Aufgabe, wäre super wenn jemand mir erklären könnte, wie ich sie lösen kann und wie ich vorzugehen habe
also die Aufgabe:
Ermitteln Sie algebraisch die Nullstelle der Funktion f.
a) f(x)= x^4 - 7x^3 - 5x^2 + 111x - 180
b) f(x)= x^5 - x^4 - 5x^3 + 3x^2 + 6x

Vielen Dank schonmal im Vorraus für die gute und schnelle Hilfe

 

[Xiphy]

a) -4; 3(doppelte); 5

siehe grafik http/img30.imageshack.us/img30/8885/2dgraph11.jpg

b) -1,73205 ca^^ , -1, 0, 1,73205 ca^^, 2
http/img3.imageshack.us/img3/3248/2dgraph21.jpg


ps. ich empfehle dir geogebra (freeware) und oder Derive 6

 

[peter9876]

prinzipiell ergibt f(x) ja den y wert an der stelle x also f(x) = 0 dann mit einem beliebigen prog oder cas das ganze ausrechnen lassen

 

[Solitary Man]

Ich denke nicht, dass es hilft, wenn man sich die Funktion mit einem Programm zeichnen lässt. Das hilft einem in der Klausur auch nicht. Außerdem ist ja eine algebraische (also denke ich mal: rechnerische) Lösung gefordert. Zum Überprüfen, ob man richtig gerechnet hat, ist so ein Funktionsplotter natürlich sehr hilfreich Mein Tipp: MatheGrafix 8

Das Stichwort zur zum rechnerischen Lösen heißt "Polynomdivision" und sollte in deinem Oberstufenmathebuch erklärt sein (ansonsten schaue mal den Link an)

Du musst die erste Nullstelle raten. In der Schulmathematik sind die Aufgaben (meistens) so, dass es eine ganze Zahl zwischen -3 und +3 ist. Diese Nullstelle klammerst du dann aus (wenn x=3 eine Nullstelle ist, musst du (x-3) ausklammern ) und teilst die gesamte Funktion dadurch. Dadurch erhälst du eine Gleichung vom Grad x^(n-1) (also im Falle der Aufgabe a. wird aus x^4 -> x^3 aus x^3 wird x^2 usw.). Du musst so lange Polynomdivision machen & Nullstellen raten, bis du eine quadratische Gleichung hast, die du ja mit pq-Formel oder quadratischer Ergänzung lösen kannst. Aus der Lösung der quadratischen Gleichung erhälst du dann die letzten Nullstellen oder auch nicht (wenn die quadratische Gleichung nicht lösbar ist).

Mfg Solitary Man

 

[Rodan]

Also wirklich algebraisch ist raten auch nicht... Und die oben genannten Programme rechnen das meistens mit Newton-Verfahren oder ähnlichen aus, was auch weit entfernt von algebraisch ist.

Ich sag nur Ferrari-Prinzip oder Cardanische Gleichungen (für die vierten Grades).

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Viel Spaß damit... Spätestens da, greift auch ein Rechenmeister auf den Taschenrechner zurück.

Ach ja und für Gleichungen 5ten Grades gibt es bewiesenermaßen kein Lösungsformel. Dann müsstest du das so machen, wie Solitary Man es beschrieben hat. Das Problem ist bloß, wenn die NST so aussehen: 0,2526259 ...

 

[Solitary Man]

Also ich hab grad mit Polynomdivision gerechnet. Es kommen halt Wurzeln als Nullstellen raus, aber das geht ja auch Wir haben es in der Schule immer so gemacht (selbst an der Uni).

Hier die Lösungen (zum Überprüfen, aber Xiphy hat ja die gleichen Werte durchs Ablesen ):
a) x1=3, x2=4, x3= -5
b) x1=0, x2=2, x3= -1, x4=wurzel(3), x5= -wurzel(3)

Wenns irgendwo Fragen zur Lösung gibt, einfach fragen

 

[Silberschrei]

Hallo @all,

wie Solitary Man bereits anfügte, empfehle auch ich die Lösung der Aufgaben durch das Verfahren der Polynomdivision.
Solitary Man hat dies m.E. sehr gut hier dargestellt, indem er u.a. darauf hinweist, dass EINE Nullstelle zunächst geraten werden muss.
Anschließend erfolgt das Divisionsverfahren.

Ein (einfaches) Beispiel für dieses Verfahren ist hier im Board zu finden:

http://www.freesoft-board.to/f159/erledigt-polynomdivision-436785.html

Beste Grüße an alle Mathe-Boarder und auch an diejenigen, die es noch werden wollen

Silberschrei

 

[kingp776]

danke für die Antworten...haben mir schon sehr geholfen