Nach den ganzen z. T. unheimlich weit vom Ausgangsfall gehendne Antworten mal eine vllt. klare Darstellung:
1. § 622 Abs. 3 BGB: "(3) Während einer vereinbarten Probezeit, längstens für die Dauer von sechs Monaten, kann das Arbeitsverhältnis mit einer Frist von zwei Wochen gekündigt werden."
Wenn eine Probezeit vereinbart wurde, kannst du jederzeit mit einer Frist von 2 Wochen kündigen.
Kündigst du also am kommenden Montag (14.12.), bist du formell noch bis zum Ablauf des 28.12. bei deinem bisherigen Arbeitgeber angestellt, danach bist du frei und könntest z. B. problemlos am 01.01. bei deinem neuen Arbeitgeber anfangen.
2. § 623 BGB: Du musst schriftlich kündigen, d. h. mindestens einen Brief tippen und persönlich unterschreiben. Der muss deinem Arbeitgeber auch zugehen (wurde oben angesprochen); das könnte im Einzelfall kritisch sein, aber ich schätze nicht, dass sich der Arbeitgeber da querstellen wird (Zugangsvereitelung o. ä.).
3. Einfach zu Hause bleiben ist KEINE Option, wenn du das Arbeitsverhältnis rechtskonform beenden willst. Faktisch mag das einer Kündigung gleich kommen, rein rechtlich ist es aber KEINE (s. z. B. Schriftformerfordernis nach § 623 BGB). U.U. wäre das sogar nachteilhaft, da der Arbeitgeber so möglicherweise Ansprüche auf Schadensersatz (höchst unwahrscheinlich) oder Vertragsstrafe (wenn im Vertrag geregelt) haben könnte.
4. Der Aufwand für dich ist minimal: Einen Brief drucken & unterschreiben, wenn du willst, kannst du den auch persönlich beim Chef/Personalabteilung abgeben und sparst noch das Porto.
5. Interessant finde ich, dass es tatsächlich Arbeitgeber gibt, die eine Arbeitnehmerkündigung auch freiwillig in eine Arbeitgeberkündigung umbauen. Mag in der Probezeit vllt. noch ein wenig unproblematischer sein, aber als kündigungsgeschützter Arbeitnehmer könnte man dann wunderbar z. B. eine Abfindung im Kündigungsschutzprozess einklagen, obwohl man selber geht.
6. Eine weitere Möglichkeit wäre auch, zu sofort einen Aufhebungsvertrag abzuschließen, d. h. einen gemeinsamen Vertrag darüber, dass das Arbeitsverhältnis zu sofort einvernehmlich enden soll. Hier gilt zwar auch das Schriftformerfordernis, nicht aber etwaige Kündigungsfristen. Ist inbesondere dann auch geeignet, wenn - so wie in deinem Fall - der neue Job schon da oder angenommen ist.
Wenn noch fragen bestehen, gerne melden!