[Mathe] Exponentielles Wachstum geschlossen

[Kampfzwiebel]

Hallo,
Kurz die Vorgeschichte:
ich hatte vor ein paar Tagen Prüfung zwischen 4 und 5 in Mathe welche ich nicht bestanden habe.
Netterweise hat mir der Lehrer eine zweite Chance gegeben. ich sollte ihm 2 "Schularbeiten" zusammenstellen über die Themenbereiche die ich negativ hab.
Das hab ich auch gemacht, dabei dachte ich mir ich nehm Beispiele wie ich sie bei der Prüfung nicht geschafft hab. Soweit so gut Bsp. ausgedacht und ausgerechnet. Blöderweise hab ich genau das Bsp. das ich bei der Prüfung gar nicht konnte wieder falsch. Jetzt will er mich über dieses Bsp. am Freitag prüfen.
Mein Lehrer meinte mir würde nur ein kleiner Denkanstoss fehlen dann wüsste ichs...
Ich sitz jetzt seit ~14:00 vor dem Beispiel und komm nicht drauf wie das geht
Also bitte wenn jemand sowas kann dann gebt mir den Schubser in die richtige Richtung der mir fehlt!

1950 wurde die Ausdehnung der tropischen Regenwälder auf 16 Mio km² geschätzt. Im Jahre 1982 wurde gezeigt, dass nur noch 9,5 Mio. km² übrig waren.

Berechne den Rückgang des Regenwaldes und bestimme wie viel bei gleichbleibenden Rückgang im Jahr 2000 noch übrig ist.

Das ist das Beispiel - wie gesagt ich habs mir selber ausgedacht also ich weis nicht wie das Ergebnis lauten sollte
Die Zahlen sind von Wikpedia

Leider hat der Lehrer meinen Zettel aber meine Vorgehensweise war etwa so:

N(t) = N0 * e ^ -lambda * t (N0 = N mit Index 0 ich konnts hier nicht anders schreiben und ^ soll "hoch" heißen)

darin Eingesetz und lambda ausgerechnet (war glaub ich 0.08 bin mir aber nicht sicher)

Hoffentlich kann mir jemand helfen
Viele grüße
Zwiebel

 

[w0nk]

Ich habs jetzt mal selber nachgerechnet, ist leider bei mir auch schon länger her das wir das hatten.

Ich komm auf folgendes:

9.5 = 16 * e ^ -lambda * 32 -> -lambda = -0,01629

16 * e ^ -0,01629 * 50 -> 7,08 (Mio m²)

Hoffe ich bin nicht völlig verkehrt^^

mfg w0nk

 

[Kampfzwiebel]

Genau so habs ich auch gerechnet, allerdings soll das Lambda eben nicht das Wachstum sein da fehlt noch irgendein Kleinigkeit auf die ich nicht komm

 

[w0nk]

Wie meinst du Lambda soll nicht das Wachstum sein?
Lambda ist das Wachstum bzw. der Zerfall.

Formel ist richtig und der Taschenrechner sollte sich nicht verrechnet haben^^

Wo sind denn die restlichen Mathegenies hier im Board ?

mfg

 

[Kampfzwiebel]

Naja mein Lehrer meinte, dass Lambda alleine nicht das Wachstum ist und, dass da noch eine Kleinigkeit fehlt.

 

[cosypanther]

1950 wurde die Ausdehnung der tropischen Regenwälder auf 16 Mio km² geschätzt. Im Jahre 1982 wurde gezeigt, dass nur noch 9,5 Mio. km² übrig waren.

Berechne den Rückgang des Regenwaldes und bestimme wie viel bei gleichbleibenden Rückgang im Jahr 2000 noch übrig ist.

Also wenn ich jetzt nur die Aufgabe lesen würde, wäre das für mich kein exponentieller Rückgang. Aber ich denke mal, das solls sein.

Wieso postet du nicht die richtige Aufgabe oder schickst sie zumindestens per PN rum.
Dann bekommst du voneinander unabhängige Ergbenisse (per PN).

Würde mich über die Aufgabe freuen.

 

[Kampfzwiebel]

Wieso "richtige" Aufgabe? Das ist die Richtige aufgabe - ich musste mir selber Beispiele ausdenken und die rechnen, ein anderes hab ich nicht

Und ich meinte natürlich die ganze Zeit den Rückgang mir ist nur irgendwie das Wort nicht eingefallen

 

[cosypanther]

Dann hab ich mich versehen, sry. Das Ergbenis von w0nk muss defintiv richtig sein.

Zum Veranschaulichen kann man auch folgenden Weg gehen, um die Funktion aufzustellen.
Du weißt, dass die Fläche exponentiell abnimmt, also wird die Ursprungsfläche A0 mit einem zeitabhängigen Faktor multipliziert. Das ist ja klar. Um nun ohne e zu arbeiten überlegt man sich, wie viel Prozent der Ausgangsfläche noch nach einer Zeiteinheit übrig sind. In diesem Fall 9,5/16. Und da eine Zeiteinheit für diese Abnahme 32 Jahre ist, muss der Exponent ebenfalls in dieser Zeiteinheit angegeben werden. Dazu dividierst du einfach die Zeit durch 32 => t/32.
Beispielsweise wird der Wald nach 64 Jahren zweimal um den Faktor 9,5/16 kleiner. Hoffe, du verstehst das so.

Die Funktion ist: A(t)=16*(9,5/16)^(t/32)

Zum Testen kannst du die Fläche nach t=32 Jahren ausrechnen. Du solltest auch ohne Taschenrechner sehen, dass wie erwartet nur die 9,5 stehen bleibt.

Nach 50 Jahren hat man demnach noch eine Fläche von A(50)=16*(9,5/16)^(50/32) = ~7,086
Also circa 7,086 Mio. km².

Vielleicht macht ja dein Lehrer nen kleinen Fehler oder ist enorm pingelig, was deine Schreibweise angeht.
Hats du eventuell nen Satz vergessen, der verdeutlicht, dass es sich um km² handelt, oder stimmt sonst etwas mit der Schreibweise nicht?

Gruß,
cosypanther

 

[Kampfzwiebel]

Also das im Jahr 2000 nur noch 7,xxx Km² da sind hatte ich auch richtig, was bei mir gefehlt hat waren die % um die der Wald jährlich schrumpft.
Ich dachte das wäre einfach das lambda also 0.01629 ~ 1.6%, so hatte ich das auch auf meinem Zettel stehen, nur meinte mein Lehrer, dass da noch was fehlt.

Aber ich denk mir gerade, dass ich vielleicht nur vergessen hab die 0.01629 in 1.6% umzuwandeln.

 

[locutus]

aber wenn du pro jahr 1.6 prozent vom ganzen abziehst, dann hättest du doch lineares wachstum? oder beziehst du dich auf 1.6 prozent verlust gegenüber dem vorjahr?

und noch was anderes: wäre es nicht vlt. sinnvoll, die ganze gleichung so aufzustellen, dass dort die gewünschte jahreszahl eingesetzt wird? sähe zumindest schöner aus und würde dem "endanwender" das umrechnen der jahreszahl in das gegebene system erleichtern.

 

[SuperFlashMan]

Wir haben es so gelernt:

Wn=Wo*q^n

Wn=Wert nach n Zeiteinheiten (jahre/tage etc.)
Wo=Wert am Anfang
q=prozent
^n=Zeiteinheit

Übertragen würde es dan heißen:
9.500.000=16.000.000*q^32 . . . |/16.000.000
9.500.000/16.000.000=q^32 . . . .|32-te Wurzel
0,9838414=q

Kann das sein?!

Ich lass es lieber bleiben

MFG
SFM

 

[Schlaechter]

soweit ich das sehe, ist Superflashman's Antwort richtig, soll heißen, dass der Wald pro Jahr um ca. 1,6 Prozent schrumpft. Also wäre deine Antwort wohl richtig, du hast sie wahrscheinlich nur nicht so aufgeschrieben...

MfG Schlaechter

 

[fox(fux)]

Jop würde das auch nach SuperFlashMans Antwort erledigen:
Geometrische Folge

An = Ao * q ^ n

Jo er hat aber eh schon alles richtig vorgerechnet, von da her werde ich jetzt nicht mehr erleutern.

mfg

 

[cosypanther]

soweit ich das sehe, ist Superflashman's Antwort richtig, soll heißen, dass der Wald pro Jahr um ca. 1,6 Prozent schrumpft. Also wäre deine Antwort wohl richtig, du hast sie wahrscheinlich nur nicht so aufgeschrieben...

MfG Schlaechter

Wenn er es nur nicht so aufschrieben hätte und die Funktion trotzdem stimmt, dürfte der Lehrer eigentlich nichts sagen. Es gibt immer mehrere Lösungen und solange man sie richtig begründet, ist alles ok.

Zu dem Ergebnis, dass der Baumbestand jährlich um 1,6% schrumpft, komme ich übrigens auch.
A(t)=16*(9,5/16)^(t/32), d.h. für t=1 ist der Faktor (9,5/16)^(1/32)= ~0,984 , also 1,6% weniger.

Wie mans nun schreibt ist ja egal..
Um noch einmal die Idee von locutus aufzugreifen: A(t)=16*(9,5/16)^((JAHR-1950)/32)

 

[Kampfzwiebel]

Ok also wenn ihr alle meint, dass die 1.6% richtig sind , dann wird das schon so sein
Ich hab mir nochmal eure Erklärungen angeschaut und eigentlich müsste es morgen schon hinhauen.

Danke für eure hilfe, ich meld mich morgen nochmal wie es ausgegangen ist.

Grüße
Zwiebel

 

[McKilroy]

Hallo,

wenn dein Lehrer pingelig ist, dann meint er vielleicht, dass du das t, also die Zeit in Unterschied zwischen 1950 und dem Jahr, das berechnet werden soll, ausdrücken sollst.

Ihr gebt ja nie 2000 ein, sondern immer 50.

Also t durch (T - 1950) ersetzen.



Alternativ könntest du auch mal anbieten, die Funktion wirklich auf das Jahr 0 zu beziehen.

Also die 16 nicht als No zu nehmen sondern die Funktion 2 mal aufzustellen mit den Punkten:

1950 / 16
1982 / 9,5

Dann No und lambda ausrechnen.

Der Vorteil: Du kannst direkt die Jahreszahlen in die Formel einsetzen und musst nicht die 1950 abziehen.



Kannst ihm das ja mal als Alternative anbieten.

 

[Kampfzwiebel]

Ok ich hab mir das jetzt mal alles ausgedruckt und denk das morgen nochmal alles genau durch.:read:

Vielen dank euch allen!

 

[Kampfzwiebel]

So nun weiß ich endlich wo mein Fehler war:

1.6% ist schon richtig, aber nicht so wie ich es ausgerechnet habe.
Lambda, was ich ausgerechnet habe, ist zwar auch 1.6% aber nicht der Rückgang, den bekommt man so wie es Cosypanther in #14 und ein paar Andere richtig gemacht hatten ((9,5/16)^(1/32)= ~0,984 oder wie es mein Lehrer dann gemacht hat mit e^lambda und dann dann 1 - dem Ergebnis)

Auf alle fälle darf ich ohne Nachprüfung aufsteigen!
Vielen Dank nochmal an alle die mir geholfen haben!

Viele Grüße
Kampfzwiebel