Mathe Prüfungsvorbereitung geschlossen

[Das Dingo]

Haben am Montag in Mathe ein Arbeitsblatt zur Prüfungsvorbereitung bekommen. Das soll wir machen. Tja hänge jetzt schon die ganze Woche ein 2 teilaufgaben fest.

3.a)
Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades f ist symmetrisch zur y-Achse. Der Punkt W(1|0) ist Wendepunkt und der Punkt T(Wurzelaus3|-1) Tiefpunkt des Graphen der Funktion f.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Funktion f.

4.c)
Gegeben ist die Funktion 5/6X^3-10/3X^2+3x.
Vom Koordinatenursprung aus wird an den Graph der Funktion eine Tangente gelegt. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Tangente und ermitteln sie die Koordinaten des Berührungspunktes.
Zeigen Sie, dass die Tangente den Graphen der Funktion orthogonal schneidet.


--- So das wären jetzt die Problemaufgaben. Besonders bei 4.c) versteh ich nicht, wie die Tangente angelegt werden muss. Kann ja nicht sein, dass die dann auch noch orthogonal zur selben Funktion ist?

 

[Rodan]

Bei 4c ist ein anderer Schnittpunkt der Tangente mit der Fkt. gemeint (nicht der Berührungspunkt).
Ansonsten schreib zumindest mal deine Überlegungen hier rein, dann kann dir bestimmt geholfen werden.

 

[Das Dingo]

Meine Überlegungen:

zu 3.a)
Damit die Funktion zur y-Achse parallel ist, müssen doch alle Exponenten gerade sein. So dann heißt die Funktion also y=aX^4+bX^2+c. Dann braucht man noch die 1. und 2. Ableitung. Eigentlich brauch man nur noch die einzelnen Angaben einsetzen.
Punkt W(1|0) ist Wendepunkt --> f(1)=0 und f´´(1)=0
Punkt T(Wurzelaus3|-1) Tiefpunkt --> f(Wurzelaus3)=-1 und f´(Wurzelaus3)=0
Daraus ein Gleichungssystem und nach a,b,c rechnen lassen.
Jedoch klappt das bei mir nicht. Komme auf keine Lösung.

zu 4.c)
Habe mir so überlegt, dass man einfach die Tangente in (0|0) reinsetzt. Also 1.Ableitung an der Stelle 0, das ist dann der Anstieg m von der Tangente.
Dann m in y=mx+n einsetzen und Punkt (0|0) dazu. Nach n umstellen. Jetzt müsste man die Formel der Tangente haben.
Bloß wie man beweist, dass die Tangente orthogonal also rechtwinklig zur Funktion ist, da hab ich keine Ahnung. Die Tangente ist doch eigentlich gar nicht orthogonal zur Funktion, eine Tangente kann doch nie orthogonal zur Funktion sein.

 

[McKilroy]

Zu 3)

Wie mein Vorredner (also du) schon geschrieben hat, bedeutet Achsensymmetrie, dass nur 3 Faktoren zu bestimmen sind (a, b und c)

Du hast 4 Festlegungen (2 Punkte, ein Extrempunkt und einen Wendepunkt).

NImm 3 davon und bestimme die Funktion.

Dann schau nach, obe die 4. Bedingung auch stimmt. Wenn ja, hast du deine Funktion, wenn nein, dann gibt es keine Funktion, die alle 4 Bedingungen erfüllt.


Zu 4c)

Di Tangente muss durch den Ursprung gehen. Daher hat sie die Form y = m*x

(+ b gibt es nicht, da sie durch den Ursprung geht.)

So:

Als Steigung muss diese Gerade die 1. Ableitung der Funktion besitzen(weil es eine Tangente sein soll, wir wissen halt nur nicht, in welchem Punkt, daher ist das x noch in der Steigung). Also 1. Ableitung bilden und als m in die Geradengleichung einsetzen.

Geradengleichung: y = .... * x (.... ist die erste Ableitung).

Jetzt die beiden Gleichungen, die Funktion und die Gerade gleichsetzen, weil wir ja den Schnittpunkt berechnen wollen. Damit hast du nur noch eine Unbekannte, nämlich x.

Dieses jetzt lösen (wahrscheinlich kriegst du mehrere Lösungen).

Damit hast du den Punkt (y musst du noch ausrechnen, indem du x in die Gleichung der Funktions einsetzt.)

Jetzt noch mit diesen x jeweils die erste Ableitung ausrechnen und die Geradengleichungen bestimmen.

Weitere Schnittpunkte zu den Garaden ausrechnen (indem du die Geradengleichungen mit der Funktion gleichsetzt - Denk dran, eine Lösung hast du immer schon, weil ja der Berührpunkt auch ein Schnittpunkt ist).

Die Steigung der Funktion in diesen Schnittpunkten ausrechnen. Diese müssen der negative Kehrwert der Steigung der Geraden sein (dann ist es rechtwinklig).

m1 = -1/m2

oder

m1 * m2 = -1

Ist beiden gleichwertig.

So long

Mc Kilroy

 

[Das Dingo]

Danke an alle. Antworten 100% richtig. Beim weiteren Durcharbeiten meines AB sind mir aber noch ein paar Fragen aufgekommen. Speziell zu Aufgabe 5.b). Bei mir bekomm ich da nur Dezimalzahlen mit hunderten Kommastellen raus.

Bild vom AB:

 

[McKilroy]

Zu a)

Achsensymmetrie:

f(x) = f(-x)

Also einfach auf der rechten Seite in die Funktion (-x) dort einsetzen, wo x steht.

Überall da, wo ein ungerader Exponent vorliegt, ändert sich das Vorzeichen, überall da, wo ein gerader Exponent vorliegt, bleibt das Vorzeichen.

Wenn jetzt rechts und links das gleiche steht, ist es achsensymmetrisch (hier natürlich nicht, weil die Exponenten ungerade sind.

Punktsymmetrie:

f(x) = - f(-x)

Einfach auf der rechten Seite alle Vorzeichen drehen.

Wenn dann rechts und links das gleiche steht, ist es Punktsymmetrisch.

(Man kann natürlich auch links alle Vorzeichen drehen, also -f(x) = f(-x))





Zu b)

f'(x) = 5 k x^4 - x²

Das gleich 0 setzen:

5 k x^4 - x² = 0 ausklammern von x²

x² (5kx² - 1) = 0

x² = 0 oder 5kx² - 1 = 0

x=0 oder 5kx² = 1


Weiteres Lösen kannst du ja selber. Denk dran, es gibt 1 + 2 Lösungen, da die Wurzel immer positiv und negativ sein kann.

Wenn du das in die zweite Ableitung einsetzt, um zu sehen, ob es Hochpunkte oder Tiefpunkte sind, dann daran denken, dass du für k eine Fallunterscheidung machen musst!

k > 0, k= 0, k
(Obwohl ich die Fallunterscheidung für k = 0 schon ganz am Anfang machen würde, weil dann das erste Glied wegfällt und die Funktion daher f(x) = -1/3 x³ lautet. Aber das ist Geschmacksache)


Die Ergebnisse in die Ausgangformel einsetzen und du erhälst die Punkte (natürlich in Abhängigkeit von k).


Der zweite Teil, die Ermittlung der Kurve, auf der alle Extrempunkte liegen (auch Ortskurve genannt), löst man so:

Du hast eine Gleichung für y, wo k drin vorkommt.

Du hast eine Gleichung für x, vo k drin vorkommt.

löse die Gleichung für x nach k auf.

setze dieses k in die Gleichung für y ein.

Ausrechnen und du kriegst die Ortskurve, wo jetzt nur noch y und x drin vorkommen (so geht das immer).

Ich hoffe, ich habe es so erklärt, dass du es verstehst. Rechnen solltest du es selber. Wenn du noch Fragen hast, dann Rechenansatz posten und sagen, wo du nicht weiterkommst.

 

[Das Dingo]

Jo, habs jetzt verstanden.
Nur bei 5.c) hab ich immer noch keine Ahnung, wie ich das ausdrücke.
Ne Funktion 5. Gardes muss doch immer nen Wendepunkt haben. Hängt doch mit der Form zusammen. Negative x-werte bleiben negativ und positve x-werte haben positive y-Werte.

 

[McKilroy]

Mit Differentialrechnung:

Einfach die oder den Wendepunkt ausrechnen und zeigen, dass es für alle k eine Lösung gibt.

(Fast immer, wenn man sowas beweisen soll, braucht man es nur auszurechnen und an der Lösung sieht man dann, dass es so sein muss).



OHne:

So, wie du in deinem post ja schon geschrieben hast, kann man die Form dieser Funktion 5. Grades beschreiben. Ich würde in der Beschreibung die Ausdrücke "Linkskrümmung" und "Rechtskrümmung" verwenden (Überleg mal, wo und warum die Funktion rechtsgekrümmt oder linksgekrümmt sein muss). Zwischen zwei unterschiedlichen Krümmungen liegt logischerweise immer ein Wendepunkt.

Tipp:
Für die Krümmung im Bereich gegen + unendlich und im Bereich - unendlich ist immer nur der Teil mit dem größten Exponenten zuständig.

Für den Bereich um 0 sind eventuell die anderen Teile mit den kleineren Exponenten zuständig. Für den Nachweise eines Wendepunktes reichen aber die Krümmungen für + unendlich und - unendlich.

 

[Das Dingo]

Danke an alle, die mir geantwortet haben. Fragen nun alle beantwortet.

 

[McKilroy]

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