Steckbriefaufgabe Benötige Hilfe

[Sexysith]

Hallo, ich mache grade ein par Steckbriefaufgaben komm an einem Punkt nicht weiter. Vielleicht kann mir ja jemand helfen!
Folgendes:
W(1│2/3) WendePunkt
Wendetangente Steigung -2
An Stelle 3 Relativer Extrempunkt.
Also:
f(1)= 3/2 also a + b + c + d = 2/3
f''(1)= 0 also 6a + 2b = 0
f'(3)=0 also 27a + 6b + c = 0
f'(1)= -2 also 3a + 2b + c = -2

Aber wie weiter? Wie kann ich da ein Gleichugnssystem aufstellen?
Ich kann ja nicht einfach sagen c und d = 0 bei den anderen.
Ergebnis ist: f(x)=1/6 x^3 - 1/2 x^2 -3/2x +5/2 (Lösungsbuch)

Grüße

Achja soll 3ten Grades sein !

 

[Creator]

Hi!
Du liegst da schon richtig mit dem Gleichungssystem:
1 1 1 1 | 2/3
27 6 1 0 | 0
3 2 1 0 | -2
6 2 0 0 | 0

Die "Nullen" sagen dabei ja nur, dass in der entsprechenden Gleichung kein c bzw d vorkommt und nicht, dass c bzw d gleich 0 ist. Wenn du das GLS nun auflöst, sollte eigentlich die genannte Lösung rauskommen... (bin grad zu faul zum nachrechnen)

Gruß, Creator

 

[McKilroy]

Eine allgemeine Funktion 3. Grades sieht so aus:

f(x) = a x³ + b x² + c x + d

Die gesuchten Unbekannten sind a, b, c, d

1. Ableitung (Steigung oder Extrempunkte)

f'(x) = 3a x² + 2b x + c

2. Ableitung (Wendepunkte)

f''(x) = 6a x +2b

Deine gefundenen Punkte, Steigungen, Extrempunkte und WEndepunkte musst du in die zuständige Gleichung einsetzen und du erhälst ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und eben auch 4 Unbekannten.


Gleichungssystem lösen und du hast die Funktion.

Das Gleichungssystem löst man sinnvollerweise mit dem Additionsverfahren (bzw. Subtraktion).

Oder man gibt es in einen grafikfähigen Taschenrechner ein.

Wie kann ich da ein Gleichugnssystem aufstellen?

Das Gleichungssystem hast du doch schon aufgestellt!

a + b + c + d = 2/3 (hier sollte eigentlich 3/2 stehen)
6a + 2b = 0
27a + 6b + c = 0
3a + 2b + c = -2

Ich würde hier zuerst die 4. Gleichung von der dritten abziehen, dann ist das c weg.

Aus der entstehenden Gleichung un der Gleichung 2 würde ich dann a oder b eliminieren und die andere Größe ausrechnen.

Dann rückwärts die anderen Größen ausrechnen.

 

[Sexysith]

Hey, danke für eune Antworten, ich hab das Gleichungssystem auch so gemacht, da kam bei mir was komsiches raus, dann hab ich gedacht das geht nicht einfach zu sagen is "0" aber ich hab mich wohl nur vertippt
Hatte andere Ergebnisse.
Jetzt nochmal neu eingetippt und wolla kommt das richtige bei raus naja was solls hatte wohl 'n Brett vorm Kopp .... aber aht was gebracht, jetzt weis ich das ich in dem Fall für eine Variable einfach eine 0 nehmen kann vorher habe ich es eifnach mal gemacht weils logisch war ! Dankeschön=)

Ach eine Frage währe da noch.
An der Stelle 0,75 liegt der Scheitel der Parabel, Parabeltangente bei 1 mit Steigung 4.
f(x)=ax^2+bx+c ........... f'(x)=2ax + b

f(0,75)= 0 also 1,5a + b= 0
f'(1)= 4 also 2a + b = 4
also
a= 8 und b= -12

Soweit sogut, aber es gibt ja noch "c"
bin nciht drauf gekommen, also im Lösungsbuch nachgeschaut.
c ist beliebig.
Wie komm ich darauf?
Also wie kann ich das sehen das c beliebig ist und ich das nicht bestimmen muss?
Im Nachhinein macht es natürlich sinn, da c ja nur der y-Wert des Scheitels ist und somit nur die Höhe dessen angibt. Aber kann ich da was rechnen?

 

[McKilroy]

Das siehst du einfach daran, dass du 3 Unbekannte hast, aber nur 2 Gleichungen.

Damit hast du eine Unterbestimmung.

Du kannst das Gleichungssystem lösen, nur eine Unbekannte bleibt erhalten und du kannst die anderen Unbekannten nur im Verhältnis zu dieser Unbekannten ausdrücken.

Du erhälst eine Kurvenschar, also eigentlich unendlich viele Kurven, da ja für jedes c, welches du frei wählen kannst, eine andere Kurve herauskommt.

Oder, wie in deinem Beispiel, man bekommt für zwei Unbekannte eine Lösung heraus und die 3. ist frei.

In deinem Beispiel kann man die Kurve beliebig nach oben oder unten verschieben, die Scheitelstelle, also der x-Wert des Scheitelpunktes ändert sich dadurch nicht (der y-wert schon). Und auch die Steigung an der Stelle x = 1 ändert sich nicht, da die Form der Parabel ja gleich bleibt.



Aber Achtung!

Manchmal findet sich irgendwo noch eine versteckte Info, die man übersehen hat.

Z.B. der Ausdruck "Eine Achsensymmetrische Kurve 4. Grades hat ..." bedeutet, dass die Funktion f(x) = a x^4 + b x² +c aussieht. Man braucht dann nur 3 Gleichungen.

Also erst immer genau durchlesen.

Im Nachhinein macht es natürlich sinn, da c ja nur der y-Wert des Scheitels ist und somit nur die Höhe dessen angibt. Aber kann ich da was rechnen?

Das stimmt so nicht!

c ist der Durchgang der Kurve durch die Y-Achse!

Die y-Koordinate des Scheitelpunktes erhälst du, wenn du 0,75 für x in die von die ermittelte Gleichung der Parabel einsetzt.

 

[Sexysith]

Danke nochmal, hast mir sehr geholfen!

Und ich hab da jetzt noch ein weiteres Problem, diesmal geht es um eine Extremwertaufgabe.
Aus einem 36cm langen Draht soll das Kantenmodell einer QUadratischen Säule hergestellt werden. Wie lang sind die Kanten zu wählen, damit die Säule ein Maximales Volumen hat.

Ich denke mir also
V = a^2 * b
Gut, an der stelle komm ich dann nicht weiter.
Was ist ein Kantenmodell?
Würde jetzt sagen alle seiten zusammen. Also sowas wie bei einem Viereck der Umfang.

Das Ergebnis ist 27 daraus ergibt sie die Kantenlänge 3.
Aber wie um Himmels Willen komme ich auf 9 seiten?
Ich hab doch unten 4 oben 4 und an den seiten 4 das macht doch 12 oder bin ichmal wieder vor die Wand gelaufen?

 

[McKilroy]

Die Hauptbedingung hast du ja schon:

V = a² * b

Bei Extremwertaufgaben muss man immer noch eine (oder mehr) Nebenbedingungen finden.

Hier:

8 a + 4 b = 36

das am besten nach b auflösen und in die Formel für V einsetzen.

Dann erste Ableitung bilden und Extremwerte suchen.

Zweite Ableitung bilden und nachsehen, ob es wirklich ein Maximum ist.

Fertig