Ungleichung: 30n < 2^n + 110 Benötige Hilfe

[Bastifantasti]

Wie kann ich folgende Ungleichung berechnen:

30n < 2^n + 110 (n ist eine natürliche Zahl)

Ich habe schon rausgefunden dass die Gleichung für alle Zahlen außer 5 und 6 gilt, aber halt nur einfach durch probieren.
Wie kommt man auf die Lösung?

Hoffe dass mir jemand schnell helfen kann.

 

[Rodan]

...
30n < 2^n + 110 (n ist eine natürliche Zahl)

...

2^n oder n^2?

Für n^2 solltest du zuerstmal umstellen und eine Faktorzerlegung also (x-x1)(x-x2) und dann kannst du dir für die beiden überlegen, wenn das größer bzw kleiner als 0 ist. Dann kannst du einen Bereich angeben, für den das gilt.

edit: Ahh du meinst wirklich 2^n, da muss ich mir nochmal Gedanken machen....

 

[Bastifantasti]

Ja ich mein wirklich 2^n!

 

[wilmafreund]

Sieh mal hier nach. Die beschreiben das sehr gut.

Ungleichungen - Mathematische Hintergrnde

 

[agury]

Wie wärs mal damit das grafisch zu lösen? Trägst du 30n ein - ist eine Gerade, und 2^n+110 - steigt dann exponenziell an.
Nur so als Gedanke, ich weiß ja nicht was ihr gerade durchnimmt.

 

[Bastifantasti]

Mhh.. also grafisch ist glaube ich nicht erwünscht.
Wir nehmen grade Induktion durch.
Habs damit auch schon probiert, aber ich komm auf keinen grünen Zweig...

Edit: @wilmafreund: So wie ich das sehe wird da aber nicht sowas wie a^x gezeigt, was ich ja eigentlich brauche.
Ansonsten kann ich schon Gleichungen bzw. Ungleichungen umformen!

Vielleicht noch als Info: Das ist nicht für die Schule, sondern fürs Studium.

 

[agury]

Na dann würde ich mal sagen: Vollständige Induktion ? Wikipedia
Mir ist zwar dein Thema nicht bekannt und ich habe nicht im Moment Zeit mich reinzuarbeiten, aber Beispiel in Wikipedia ist doch nicht schlecht (nicht ganz mit deinem vergleichbar)

Edit: Induktion aus Studium kenne ich nur wegen Spule
Edit2: 19 Jahre alt und schon Studium? nicht schlecht

 

[Bastifantasti]

Also wie Induktion geht ist mir klar, ich hab auch schon mehrere geschafft (mit Summen und so weiter)
Doch hierbei scheiter ich irgendwie.
Naja vielleicht kann mir ja noch jemand helfen.

Jo da ich ausgemustert bin is das gar nich so unwahrscheinlich, dass ich schon studiere!
Hab dieses Jahr mein Abi gemacht und werde noch im November 20.

 

[Schlaechter]

also ohne jetzt nachzudenken, oder zu wissen, wie Induktion funktioniert (leider machen wir das nicht im LK) würde ich einfach versuchen nach n aufzulösen, also wie bei ner Gleichung. Da ich allerdings keine Ahnung von Ungleichungen oder Induktion habe, könnte mein Lösungsweg auch falsch sein...


MfG Schlaechter

 

[Bastifantasti]

Naja prinzipiell nach n auflösen geht bei Ungleichungen eigentlich fast genauso wie bei Gleichungen, nur macht mir das 2^n da probleme.
Induktion funktioniert eigentlich recht einfach:
Du zeigst erstmal, dass es für das kleinste Element gilt. (einfach einsetzen)
Also hier jetzt die 7 z.B., da es ja für alle Zahlen ab 7 auf jedenfall geht.
Und dann zeigt man, dass es für n+1 auch gilt.
Und dann gilts halt für alle Zahlen ab 7.

Aber ich denke, dass das hier nicht so einfach ist, weil ja auch 1 - 4 geht und nicht nur die Zahlen ab 7....

 

[xy1967]

Ind.Vorr. : n=7 : ok

n-->n+1 : Sei nun n>= 7
30(n+1) < 2^(n+1) +110
30n +30 < 2 * 2^n + 110 = (2^n +110) + 2^n
Da nun nach Vorr. gilt : 30n < 2^n +110 für alle n>=7 ist dies
30 < 2^n
n>= 5
n>= 7, also auch n>=5, q.e.d.

Ach ja, für n= 1...4 muss es noch explizit aufgeführt werden.

 

[Schlaechter]

Puh ich merk gerade, dass ich fürs Abi noch so einiges wiederholen muss, aber ich denke, dass 2^n kriegste mit der e-funktion weg oder?

MfG Schlaechter

 

[Bastifantasti]

@xy1967: den Schritt von (2^n+110)+2^n zu 30 < 2^n
kann ich nicht nachvollziehen.
Da muss auch ein Fehler drin sein, denn es gilt ja nicht für alle n >= 5, sondern eben nur für alle n >= 7 oder n
@Schleachter: So weit ich weiß ist Induktion gar nicht im Abitur drin, oder?
Wie gesagt, ich mach das grad an der Uni, nicht in der Schule...

 

[xy1967]

Zur Verdeutlichung :

Laut Induktionsvorraussetzung gilt :
30n < 2^n +110 für alle n>=7
Falls nun 30 < 2^n gilt (was für alle n>=5, also auch für alle n>=7 gilt), gilt auch (nach Addition) :

30n + 30 < (2^n + 110) + 2^n

Und wie gesagt : Für n=1...4 ist es explizit auszuführen und für n>=7 eben durch Induktion !

 

[Bastifantasti]

Achso... ich glaube jetzt hab ich das verstanden...
Also anders, einfacher, gehts wohl nicht, oder?

Dann werde ich das wohl mal so machen... dankeschön!

 

[xy1967]

Interessant dabei ist, dass die Induktion mit dem Anfang n=1,2,3 oder 4 klappt, aber nicht immer 30 < 2^n gilt. Und mit dem Anfang 5 oder 6 gilt zwar stets 30 < 2^n , allerdings klappt der Anfang nicht. Erst ab 7 gelingt beides.