x^5 + x^3 + x = 0

  • Benötige Hilfe

  • Ralph Peter
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  • x^5 + x^3 + x = 0

    Hi mathematikbegabte,


    ich bräuchte recht schnell (bis Morgen ;) ) einen Weg, um die Nullstellen einer Funktion wie diese herauszufinden:

    x^5 + x^3 + x = 0

    wie man bikubische löst, weiss ich, aber das? Substitution scheint hier nicht zu helfen...

    Vielen Dank schonmal,



    Ralph Peter
    [COLOR="Green"]"A dream you dream alone is only a dream. A dream you dream together is reality"[/color]

    John Lennon

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  • Hallo,

    x=0 ist die einzige Lösung, die für diese Aufgabe existiert. (wenn ich von den "normalen" reelen Zahlen ausgehe)

    Begründung: Wenn man x ausklammert, erhält man x*(x^4+x^2+1).
    Gemäß dem Grundsatz "Ein Produkt ist Null, wenn mindestens einer seiner Faktoren Null ist", sehen wir schon, dass für x=0 der gesamte Term Null wird.
    Bleibt noch zu klären, in welchen Fällen x^4+x^2+1 Null werden kann.
    Hierzu überlegen wir kurz und sehen, dass es sich um ein Polynom vierten Grades (wegen hoch 4) handelt und somit von oben in Richtung 0 kommt (-x gegen unendlich) und auch wieder nach oben geht (+x gegen unendlich). Da wir jedoch das absolute Glied +1 haben, trifft der Fall, dass x^4+x^2+1 Null wird niemals ein. Es bleibt also bei einer Nullstelle.

    Oder um die Substitution zu verwenden:
    Wieder durch x teilen und dann x^2=z setzen. Wir haben nun z^2+z+1, was wir schnell aus pq-formeln können mit dem "Erfolg", dass wir eine negative Wurzel haben. Somit gibt es hierfür keine Lösung --> Keine neue Nullstelle

    x1/2= -1/2 +- sqrt(1/4 - 1)

    Hoffe ich konnte etwas helfen,
    Gazzis

    //edit: zu spät ;)

  • Ist eigenlich alle gesagt, ich fasse noch einmal zusammen:

    Zuerst x auklammern x * (x^4 + x^2 + 1) = 0

    Dann ist x = 0 oder x^4 + x^2 + 1 = 0

    Normalerweise müsste man jetzt substituieren z = x^2 und hätte eine quadratische Gleichung die man lösen würde. Dann würde man die erhaltenen Lösungen jeweils gleich x^2 setzen

    Dann die Wurzel aus den Lösungen ziehen und man hätte die endgültigen Lösungen.

    Aber hier hat die Gleichung x^4 + x^2 + 1 = 0 keine Lösung denn:

    x^4 ist immer größer oder gleich 0
    x^2 ist immer größer oder gleich 0
    1 ist größer als Null

    also ist x^4 + x^2 + 1 immer größer oder gleich 1

    Und damit mache ich hier dicht.

    Vielen Dank an alle, die geholfen haben.