Mathe - vollständige Induktion

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  • Mathe - vollständige Induktion

    Moin :)

    Beschäftige mich grad mit der vollständigen Induktion als Beweisverfahren, ist an sich auch recht einfach und logisch, allerdings habe ich das Problem, das ich nicht weiß was ich bei k+1 dann einsetzen soll.


    Angenommen ich möchte für sn = 1/1x2 + 1/2x3 + ... + 1/n(n+1) beweißen das gilt sn = n/(n+1) dann rechne ich es zuerst für 1 aus (Ergebnis stimmt) und dann für k:
    sk = k/(k+1)

    für k+1:
    s(k+1) = (k+1)/(k+2)

    Nur jetzt komm ich nicht mehr weiter, im Heft steht:
    s(k+1) = sk + 1/((k+1)(k+2) = ...

    nur wie kommt man gerade auf den Ausdruck "1/((k+1)(k+2)"?
    Woher weiß ich was ich da dazu addieren muss?

    Schon mal Danke für eure Hilfe! :)

    mfg
    neo

  • Also - du sollst beweisen, dass 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/(n(n+1)) = n/(n + 1) ist.

    1.: Ueberpruefung, ob es fuer n = 1 gilt.
    [...]

    2.1: Voraussetzung: das ganze gilt fuer n = k
    -> den Term oben nochmal hinschreiben und fuer n ueberall k einsetzen:
    1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/(k(k+1)) = k/(k + 1)

    2.2: Behauptung: das ganze gilt fuer n = k + 1
    hier musst du ebenfalls den Term von oben hinschreiben und fuer n (k+1) einsetzen. Sieht dann so aus:
    1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/(k(k+1)) + 1/((k+1)(k+2)) = (k+1)/(k+2)

    2.3: Beweis:
    Jetzt addierst du zu der Gleichung aus 2.1 noch a_k+1 und schreibst das hin:
    1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/(k(k+1)) + 1/((k+1)(k+2)) = k/(k + 1) + 1/((k+1)(k+2))
    [Das ist jetzt einfach nur eine andere Gleichung zur Berechnung des (k+1). Glieds, von der du aber ausgehen kannst, dass sie stimmt. Wenn du die so umformst, dass du das erhaeltst, was bei 2.2 rechts steht, hast du die 'Vererbung' bewiesen]

    Da die linke Seite dieser Gleichung mit der linken aus 2.2 uebereinstimmt, kannst du das gleichsetzen und erhaeltst folgende Gleichung:
    (k+1)/(k+2) = k/(k+1) + 1/((k+1)(k+2))
    Die musst du jetzt solange umformen, bis man sieht, dass sie stimmt. Fuer gewoehnlich formt man die recht Seite um (die Summe), bis man das erhaelt, was links steht.
    -> auf der rechten Seite Hauptnenner bilden
    (k+1)/(k+2) = [k(k+2) + 1] / [(k+1)(k+2)]
    -> Zaehler auf der rechten Seite ausmultiplizieren
    (k+1)/(k+2) = [k²+2k+1] / [(k+1)(k+2)]
    -> binomische Formel
    (k+1)/(k+2) = [(k+1)²] / [(k+1)(k+2)]
    -> k+1 kuerzen
    (k+1)/(k+2) = (k+1)/(k+2)

    3.: Damit ist die Richtigkeit der Aussage fuer alle n element N und n>=1 bewiesen.

    So haben wir das beigebracht bekommen..

    fu_mo

  • Danke für die Erklärung. :)

    Das is ja total einfach, dann muss ma nur die s(k+1) dazuzählen. :)

    Warum zum Teufel schreiben die das net rein? :D - und warum hab ich das gecheckt? :(

    Hier kann dann dichtgemacht werden, danke nochmals fu_mo :)

    mfg
    neo