Hi,

hab hier ein Problem bei folgender Aufgabestellung:

Der schwarze Kreis sei eine Kugel.
Das blaue Rechteck ein Zylinder.
Aufgabe ist es aus der Kugel einen möglichst großen (Volumen) Zylinder zu machen. Gegeben ist r=4cm.



Kriegt das jemand hin? Mag vielleicht für den Ein oder Anderen einfach sein, für mich nicht

thx beaviz

Als 1. legst du deinen Kreis in den Koordinatenursprung. Dadurch ergibt sich anschaulich die Beziehung r²=(h/2)²+R² (1), wobei R der Radius des Zylinders ist.
Als nächstes kennst du ja die Gleichung für die Berechnung des Volumes eines Zylinders, nämlich V=Pi*R²*h (2). Da die Zylinder oberhalb und unterhalb der x-Achse gleich groß sind, brauchst du nur den Zylinder oberhalb betrachten, dessen Volumen dann die Hälfte des Ausgangszylinders beträgt. Vo=Pi*R²*h/2 (3).
Dann stellst du (1) nach R² um, setzt dies in (3) ein und erhälst
V=Pi*r²*h/2-3/8*Pi*h². Dies leitest(differenzieren) du ab und setzt dies gleich =0. Danach stellst du nach h um und erhälst
h=(4/3*r²)^(0,5).
Mit dem errechneten Wert von h kannst du R berechnen und dann das Volumen deines Zylinders.

Super, thx.

Hi, habs jetzt ma nach deiner Anleitung probiert, komm aber nicht auf dein Ergebnis. Hab immer 8cm für h raus, was aber unmöglich ist, weil das der Durchmesser der Kugel ist. Und ich glaube das man mit R/2² rechnen muss, weil R alleine der Durchmesser des Zylinders ist. Also würde die Beziehung so aussehen:

r²=h/2² + R/2²

Daraus folgt diese Formel für das Volumen des Zylinders:
V=PI*R/2²*h

Dann hab ich die Beziehung umgestellt:
r² - h/2² = R/2²

Dann einsetzen in die Volumenformel:
V=Pi*(r² - h/2²)*h

Daraus die Ableitung müsste folgende sein:
V'=2r-h

Also würde das Ergebnis 8cm lauten, was aber nicht geht, den das ist der Durchmesser.

Hat jemand ne Idee wo der Denkfehler liegt?
thx beaviz

Beachte bitte, dass R bei mir der Radius des Zylinders ist und nicht wie bei dir der Durchmesser.

Wenn du R als Durchmesser nimmst dann folgt für das Volumen des gesamten Zlinders V=Pi*(R/2)²*h=Pi*R²/4*h und für den Zylinder oberhalb der x-Achse dementsprechend Vo(o=oben)=Pi*(R/2)²*h/2=Pi*R²/4*h/2.

Die Beziehung die du ansprichst ist der Satz des Pythagoras und du musst beachten, dass da (h/2)²=h²/4 da stehen muss, analog für R/2.

Dann ergibt sich, dass deine oben genannte Ableitung falsch ist.(Man muss nur nach h ableiten und nicht wie du es gemacht hast. Außerdem fehlt dein Pi, dieses verschwindet nicht nach dem ableiten.

Viel Erfolg.

achso mein Ergebnis: für h=Wurzel aus(4/3*16)=4,62 cm hört sich realistisch für diese Aufgabe an.

Ok, das hab ich mittlerweile auch rausgefunden, dass die Ableitung nicht stimmt

Also wenn ich jetzt einsetze, sieht das so aus:

V=PI*(r²-h/2²)*h
Wie sieht die Ableitung jetzt genau aus?
V'=PI*(2r-h)*h ?
Und wo kommt bei dir das 2. PI her? Woher die -3/8?
Hab da den Durchblick verloren. Kannst du vielleicht nochmal nach und nach die Ableitungen posten?
Auf jeden Fall erstma dickes thx für die Hilfe.

Du musst ausmultiplizieren, dann geht das ableiten viel einfacher ansonsten musst du nämlich die Kettenregel beachten also:

V=Pi*r²*h-Pi*(h^3)/4 (bei mir steht hier 3/8 weil ich ja nur den halben Zylinder betrachte und du den ganzen)

V'=Pi*r²-Pi*3/4*h²=0 => r²-3/4*h²=0 und dann kommste auf die Lösung