Meinst du die Unterscheidung ob es ein lokaler Hoch- und Tiefpunkt ist? Würde ich einfach per Vorzeichenwechselkriterium bestimmen, also indem du (wenn x die Nullstelle ist) f'(x+0.01) und f'(x-0.01) berechnest. Ist der erste Wert negativ, der zweite positiv -> Minimum. Umgekehrt entsprechend ein Maximum. Die 0.01 sind natürlich ein Beispielwert, in der Implementierung ist natürlich darauf zu achten, dass zwischen x und x+-*beliebiger Wert* keine weiteren Nullstellen liegen.

Ich würde die 2. Ableitung nehmen:

Die Methode der zweiten Ableitung baut auf die des Vorzeichenvergleichs auf. Denn wenn die 1. Ableitung monoton an ihrer Nullstelle fällt, also von positiv zu negativ (das Kriterium für einen Hochpunkt), dann muss die 2. Ableitung negativ sein (1. Ableitung fällt, 2. Ableitung ist negativ).

Das Gleiche für einen Tiefpunkt. Ist die 2. Ableitung positiv an der Nullstelle der 1. Ableitung, so bedeutet dies, dass die 1. Ableitung an ihrer Nullstelle steigt, also von negativ zu positiv wechselt.

Und weiterhin ist klar, dass die zweite Ableitung in der hinreichenden Bedingung nicht Null sein darf. Denn wenn die zweite Ableitung Null ist, befindet sich in der ersten Ableitung ein Extremum, was Nullstelle zur ersten Ableitung ist und somit würde sich die Steigung der Funktion nicht ändern und es würde sich deshalb nicht um einen Extrempunkt handeln.