produktregel,kettenregel,quotientenregel

oseven · 31. März 2011, 19:50

hey leute ich soll diese regeln in einem kurzen vortag erklären.das ist eigentlich kein problem die regeln sind mir bekannt:)
mein problem besteht darin, dass ich auch noch erklären soll wie sich die regeln durch z.B eine andere regel herleiten oder beweisen lassen.
hoffe mir kann jemand helfen
mfg osven

karlvw4el · 1. April 2011, 17:31

Hallo oseven,

hier einige Hinweise, ohne wirkliche Strenge (Existenz von Grenzwerten ...).
Ausgangspunkt ist immer die Definition einer Ableitung:

f'(x) = lim (Dx->0) [f(x+Dx)-f(x)]/Dx
Dx steht für einen endlichen Wert, nicht irgend etwas geheimnisvolles
"unendlich kleines".

Produktregel:

[u(x).v(x)]' = lim [u(x+Dx).v(x+Dx) - u(x).v(x)]/Dx ... falls existiert an der Stelle x ...

Den Zähler kann man schreiben als:

[u(x+Dx)-u(x)]. v(x+Dx) + u(x).[v(x+DX)-v(x)]

Den Bruch daher als:

{[u(x+Dx)-u(x)]/Dx}.v(x+Dx) + u(x).{[v(x+DX)-v(x)]/Dx}

Der linke Faktor im linken Produkt geht nach u'(x), der rechte Faktor nach
v(x) uind entsprechend rechts.

Du erhälts also u'v + v'u .

Kettenregel:

[u(v(x+Dx)) - u(v(x))]/Dx = {[u(v(x+Dx))-u(v(x))]/[v(x+Dx)-v(x)]}.
{[v(x+Dx)-v(x)]/Dx}

Quotientenregel:

u/v = u.[v hoch -1]
Damit ist das auf die Produktregel und Kettenregel zurückgeführt.

lg karlvw4el

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