Substitution läuft in etwa so ab:

1. Du suchst dir eine geeignete Substitution, dies ist eigentlich der schwerste Schritt, hierfür braucht man im Allgemeinen viel "Erfahrung".

2. Du ersetzt deine Variable im Integranden durch deine Substitution

3. Du ersetzt dein infinitesimales Integrationsstück dx. Dieser Schritt muss erfolgen, weil man ja nicht t über x integrieren kann. Also berechnest du dt/dx, was die ableitung von t(x) nach x ist. Diese Gleichung stellst du dann nach dx um. Also dx=dt/(Ableitung)

4. Du ersetzt deine Integrationsgrenzen. Die Formel hierfür ist deine Subsitution. Deine Grenzen sind vorher x und werden dann in t umgerechnet. Also mit t=4-x^2 wird deine obere Grenze 2 zu 0 und deine untere Grenze 0 zu 4.

So mal ganz kurz die Vorgehensweise bei einer Substitution zusammengefasst.

In den Moment wo du dein dx ersetzt, musst du auch die Grenzen ändern. Deine Grenzen sind ja x Werte und keine t Werte. Deshalb musst du aus deinen Grenzen t Werte machen, da du ja über dt integrierst und nicht mehr über dx.
Somit ist deine zweite Zeile falsch. In der Klassenarbeit würde dort ein f für falsch dran stehen, eben weil die Grenzen nicht stimmen.

Mal bildlich gesprochen: Am Anfang integrierst du über Torten. Deine Grenzen gehen von 0 Torten bis 4 Torten. Jetzt entscheidest du dich, dass du lieber Birnen statt Torten willst. Deshalb ersetzt du alle Torten mit Birnen. Du kannst deine Birnen zwar integrieren, aber wenn du deine Tortengrenzen einsetzen möchtest bekommst du Probleme, da Torte ungleich Birne. Deshalb musst du deine Tortengrenzen durch Birnengrenzen ersetzen. Die Mittel die du dafür brauchst, stehen in deiner Substitution.

Man kann sich das ganze auch abstrakter vorstellen. Schreibe einfach statt 0 und 4 die Variablen x_0 und x_1. Dann fällt sofort auf, dass du diese Variablen nicht einfach für dein t einsetzen kannst. Du musst sie vorher durch t_0 bzw. t_1 ersetzen. Dies passiert mit deiner Subsitution:
t_0=4-x_0^2
t_1=4-x_1^2

Wenn du diese ganze Sache umgehen möchtest, so kannst du auch erstmal ohne Grenzen integrieren, dann zurück substituieren, und dann deine alten Grenzen einsetzen. Dass ist allerdings meistens mehr Arbeit.

Noch als Anmerkung: Führe deine Subsitution immer als Nebenrechnung durch, da es mathematisch gefährlich ist, im Integranden zwei Variablen t und x stehen zu haben, die voneinander abhängig sind.

cheffe, wenn das hier dann für Dich erledigt ist, dann bitte noch das Präfix umstellen