Lineare Gleichungen mit "k" Benötige Hilfe

[Paniomania]

Also ich habe keinerlei Probleme eine lineare Gleichung mit 3 - 4 Variabeln zu lösen, leider kommt jetzt das Problem von einer Unbekannten "k" dazu:

Die Aufgaben lauten:
1.)

3x - 2y + z = 2k
5x - 4y - z = 2
x + 3y - 2z = 6+2k

2.)

y - z = -1
2x - y + 3z = 2+k
kx + (2 - k)z = k


man soll so auflösen dass beispielsweise für x = 2y + k steht bzw. zeigen, ob die Gleichung lösbar, mehrdeutig lösbar oder unlösbar ist.


Würde mich freuen, wenn mir jemand von euch helfen könnte - ich komme einfach nicht weiter und weiß absolut nicht wie ich das angehen soll.

mfg
PaNio

 

[Fidibus]

hallo, das lösen von gleichungen mit nem parameter ist genau das gleiche schema wie wenn du keinen hast, also mit dem gausseliminationsalgorithmus
bringst die gleichungen in dreiecksform

3 -2 1|2k
5 -4 -1|2
1 3 -2|6+2k

3 -2 1|2k
0 19 -9|(6+2k)*5 -2
1 3 -2|6+2k

3 -2 1|2k
0 19 -9|(6+2k)*5 -2
3 9 -6|(6+2k)*3

3 -2 1|2k
0 19 -9|(6+2k)*5 -2 (6+2k)*5 -2 = 28+10k
0 -11 -5|2k -(6+2k)*3 2k -(6+2k)*3 = -18-4k

3 -2 1|2k
0 19 -9|28+10k *11
0 -11 -5|-18-4k *19

3 -2 1|2k
0 209 -99|308+110k
0 -209 -95|-342-76k

3 -2 1|2k
0 209 -99|308+110k /11
0 0 -194|-34-34k /2

3 -2 1|2k
0 19 -9|28+10k
0 0 -97|-17-17k

und dann kann man einfach durch rückwärtseinsetzen rausfinden was x,y,z für werte in abhängigkeit von k haben können

97z=17+17k
z=(17+17k)/97

19y-9z=28+10k da dann z von oben einsetzen um y rauszubekommen ...


lösbar isses lgs aufjedenfall, für etwas nichtlösbares müsste man eine zeile so hin umformen, sodass in der 0*x+0*y+0*z=1 z.b. steht, diesen fall haben wir nicht. nu noch die frage ob mehrdeutig lösbar, da der parameter k in den x, y, z offensichtlich erhalten geblieben ist, ist das ganze auch mehrdeutig lösbar, setze für k eine beliebige zahl ein, und du erhälst immer neue x, y, z als lösungen. die 2. darfste selber machen.

 

[Schlaechter]

also allgemein:
eindeutig lösbar isses wenn du ein eindeutiges ergebnis raus hast, also z.B. ne Lösungsmenge von L:{1/3/12} oder so etwas in der Form.
Mehrdeutig Lösbar is es, wenn du in deiner Lösungsmenge eine(oder auch mehrere) Variable hast,
z.B. L:{1/3k/14k}
Nicht Lösbar ist das Ganze, wenn du am ende eine Ungleichung rausbekommst,
z.B. 1=0 oder 3k=3k+1
(wenn du allerdings so etwas wie 3k=4k herauskriegst muss du bedenken dass k ja auch =0 sein kann, dies wäre dann eine eindeutige Lösung)
Unendlich viele Lösungen gibt es bei Gleichungen dieser Art:
(3-x)*k=0 (wenn nämlich einer der beiden Multiplikanden = 0 ist is es egal welche Zahl der Andere hat)
Als Beispiel mal so etwas:
(3-3)*k=0 (in diesem Fall ist es egal für welche Zahl k steht denn egal welche Zahl du einsetzt ist das Ergebniss 0)
Hoffe ich konnte dir weiterhelfen

MfG Schlaechter