Problem bei Mathe Aufgabe

[acer_11]

Also ich hab ein Problem mit einer Matheaufgabe:

Wird eine Kugel aus einer Höhe von 2,2m und mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 90 m/s senkrecht nach oben geschossen, kann die Maßzahl der erreichten Höhe der Kugel nach t Sekunden mit der Gleichung h=90t+2.2-5t² annähernd berrechnet werden.
a) Welche Höhe hat die Kugel nach 10 Sekunden erreicht?
b) Wie hoch fliegt die Kugel und wann hat sie die maximale Höhe erreicht?

Also a) ist ja kein Problem aber bei b) hab ich so meine Probleme, kann mir da wer einen Tip geben?


LG
acer

 

[MrMooney]

Dass du hier eine Extremwertaufgabe hast, siehst du aber, oder?
Du musst hier wie bei einer Kurvendiskussion vorgehen.

Die Maximale Höhe ist ja das Maximum der von dir genannten Funktion : h(t)=90t+2.2-5t²

Einfach von dieser Funktion jetzt die 1. Ableitung bilden und das Extremum ausrechnen. Dann bekommst du den Zeitpunkt raus, den wiederrum setzt du in die Ausgangsgleichung ein, worauf du die Höhe der Kugel zu dem Zeitpunkt herausbekommst.

Falls es sonst noch Fragen oder Probleme gibt, einfach nachfragen.

Greetz
MrMooney

 

[acer_11]

Also, irgendwie werde ich da jetzt nicht ganz schlau draus. Was eine Kurvendiskussion weiß ich jetzt auch nicht. Ich bin Schüler einer 9. Klasse auf einer Realschule.

LG

 

[Kenchi]

Naja...Was MrMooney hier sagt, ist nicht ganz richtig.

Das Thema, welches Du haben solltest, sind vermutlich quadratische Gleichungen. In der 9. Klasse einer Realschule hat man noch keine Kurvendiskussionen

Und meiner Meinung nach, ist das eher Physik, Mechanik.

Und um Aufgabenteil b) zu lösen, müsste man meines Erachtens nur die Funktion ableiten:

h(t)=90t+2,2-5t²
h'(t)=90-10t

Diese Funktion ( h'(t) ) musst Du dann 0 setzen.

-> h'(t)=-10t+90=0
-> -90=-10t | *(-1)
-> 90=10t | /10
-> 9=t
-> einsetzen in die Ausgangsfunktion: 90*9+2,2-5*9²=407,2

So und jetzt die maximale Höhe:

h(t)=0
-> 90t+2,2-5t²=0 | /(-5)
-> -18t-0,44-t²=0 | p/q Formel
-> 9+-wurzel(81+0,44)
-> t1=18,02 ; t2=-0,02

Sooo...Den zweiten Teil musst Du Dir im Koordinatensystem vorstellen. Da es aber keine negative Höhe geben kann, muss man nur t1 beachten.

Antwort: Die Kugel fliegt 407,2 m hoch und hat nach ~18 s die maximal Höhe erreicht.

Ich hoffe, ich konnte Dir helfen.

Viele Grüße

 

[acer_11]

Ah ok, vielen vielen Dank

 

[Kenchi]

Ich habe es nochmal geändert!!!

 

[MrMooney]

Entschuldigung Kenchi, aber ich verstehe deinen Einwand nicht. Was ist bei mir nicht ganz richtig? Ich habe bewusst keine direkte Lösung gebracht, da ein gewisses Stück Selbstständigkeit doch noch angebracht wäre.

Aber genau das, was du für die Lösung der Aufgabe machst, ist das Vorgehen, das ich beschrieben hatte. Und das ist genau das Vorgehen einer Kurvendiskussion.

Ausserdem ist deine Antwort falsch. Die maximale Flughöhe mag zwar 407,2m sein, jedoch erreicht die Kugel diese Flughöhe nach 9 Sekunden. Denn nach "~18s" ist der Zeitpunkt erreicht, an dem die Kugel auf den Boden aufknallt.

Die komplette Lösung des Aufgabenteil b) hast du hier geliefert :

[...]
Und um Aufgabenteil b) zu lösen, müsste man meines Erachtens nur die Funktion ableiten:

h(t)=90t+2,2-5t²
h'(t)=90-10t

Diese Funktion ( h'(t) ) musst Du dann = 0 setzen.

-> h'(t)=-10t+90=0
-> -90=-10t | *(-1)
-> 90=10t | /10
-> 9=t
-> einsetzen in die Ausgangsfunktion: 90*9+2,2-5*9²=407,2
[...]

Dabei steht doch die Lösung des 2. Aufgabensteils schon dort. t=9 ist somit der Zeitpunkt, zu dem der höchste Punkt erreicht ist.

Da du jedoch nur das notwendige Kriterium mit h'(t)=0 beachtet hast, sollte man auf jeden Fall noch das hinreichende Kriterium z.B. mit dem VorZeichenWechsel der 1. Ableitung hinzuziehen, um zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt, und nicht fälschlicherweise um ein Minimum.

Die Überprüfung bestätigt aber, dass es sich bei der Stelle t=9 um ein Maximum handelt, welches den Funktionswert 407,2 hat.


Folglich ist die kurze und einfache Antwort für Aufgabenteil b):

Die Kugel fliegt 407,2m hoch, welche Flughöhe sie nach 9s erreicht hat.

Greetz
MrMooney

 

[McKilroy]

He ihr Schnarchnasen

Wenn er 9. Klasse ist, hat er von Ableitung keine Ahnung und das ist dann auch nicht verlangt.

Er muss die Gleichung einfach in die Scheitelpunktform (mit quadratischer Ergänzung) umwandeln und kann dann sofort die Höhe und die Zeit ablesen.


y = - 5 t² + 90 t + 2,2

y = - 5 (t² - 18 t) + 2,2

y = - 5 (t² - 18 t + 81 - 81) + 2,2

y = - 5 [(t - 9)² - 81] + 2,2

y = - 5 (t - 9)² + 405 + 2,2

y = -5 (t - 9)² + 407,2

Es ist eine nach unten geöffnete gestreckte Parabel mit dem Scheitelpunkt (9 / 407,2)

So geht das ohne die Ableitung.

So long

Mc Kilroy

 

[Silberschrei]

Hallo zusammen,

McKilroy hat die Lösung ausgezeichnet dargestellt.
Falls der Fragesteller Rückfragen bezüglich der quadratischen Ergänzung hätte - dann bitte hier posten...
...oder gugelhupfen mit den Suchbegriffen:
Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen / berechnen
Dort finden sich eine Menge Beispiele, die ausführlich erläutert und somit verstehbar sind.
Viele Grüße an alle
Silberschrei