Quadratische Funktionen Benötige Hilfe

[Slimshady]

Hallo habe mal wieder ein Problem mit einer Aufgabe in Mathe...

Die Aufgaben stellung ist:

Gegeben ist die Gleichung einer nach oben Geöffneten verschobenen Parabel.
Berechne den wert von q
Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel.
y=x² + 5x + q ; P (-7/2)

Habe jetzt leider keine Ahnung ob P jetzt schon das ergebniss ist oder ob das zur Aufgabe gehört. Das Blatt ist von meiner LEhrerin und leider stehts nicht dabei...

Wäre toll wenn jemand eine Ahnung hat wie man das Löst.

MFG

 

[McKilroy]

Setze 2 für y und -7 für x ein und dann kannst du p ausrechnen.


Anschließend wandelst du die Gleichung in die Scheitelpunktsform um und kannst den Scheitelpunkt ablesen.

Edit:

Weil heute der 28.11. ist:

2 = (-7)² + 5 * (-7) + q

2 = 49 - 35 + q

q = -12

Also die Gleichung:

y = x² + 5x - 12

Scheitelpunktsform:

y = x² + 5x + 2,5² - 2,5² -12 (quadratische Ergänzung - der Wert vor dem x (hier die 5) halbieren quadrieren und einmal addieren und einmal subtrahieren, damit das Gleichgewicht erhalten bleibt.)

y = (x² + 5x + 2,5²) - 2,5² -12 (1. binomische Formel)

y = (x + 2,5)² - 18,25

Der Scheitelpunkt liegt also bei S (-2,5 / -18,25) [Die X-Koordinate des Scheitelpunktes ist immer der Wert in der Klammer mit umgekehrten Vorzeichen. Die Y-Koordinate ist der Wert hinten)


Probe:

2 = (-7 + 2,5)² - 18,25

2 = 2

 

[Slimshady]

Das hatte ich versucht dachte aber es wäre falsch sah so aus vlt hat sich auch ein fehler bei mir eingeschlichen ...

2=(-7²)-35x + q
2=-49-35 + q
51=-35x + q
51 + 35x = q

Stimmt das so oder habe ich etwas falsch gemacht?Bei den 35x bin ich mir unsicher. Dachte da da schon x steht muss ich die zahlen miteinander mal nehmen... Wenn das Stimmt wie genau gehts dann weiter? Weiss nicht genau was du mit der Scheitelpunktsform meinst.

y=x²+35x+51?

S(35/51)?

oder ganz anders?

Danke schonmal

Gruß

 

[McKilroy]

Schau mal bei meiner editierten Rechnung nach.

Du musst das x 2 Mal einsetzen, bei x² und bei 5x.

Siehe oben, ich hab die Lösung eingearbeitet.

Schreibe, wenn du einen Schritt nicht verstehst.

 

[Slimshady]

Also bis zum Scheitelpunkt ist alles klar nur ab da bin ich etwas verwirrt.

y = x² + 5x + 2,5² - 2,5² -12 (quadratische Ergänzung - der Wert vor dem x (hier die 5) halbieren quadrieren und einmal addieren und einmal subtrahieren, damit das Gleichgewicht erhalten bleibt.)

y = (x² + 5x + 2,5²) - 2,5² -12 (1. binomische Formel)

y = (x + 2,5)² - 18,25

wenn ich ja die 5 halbiere und quadriere und sie dann einmal plus und 1 mal minus mache müsste ich dann nicht das stehen haben?
y=x²+5x+6,25-6,25-12?

 

[McKilroy]

wenn ich ja die 5 halbiere und quadriere und sie dann einmal plus und 1 mal minus mache müsste ich dann nicht das stehen haben?
y=x²+5x+6,25-6,25-12?

Genau, ist ja das Gleiche.

2,5² ist ja 6,25.

Als nächsten Schritt denkt man sich eine Klammer:

y= (x²+5x+6,25)-6,25-12

Das in der Klammer ist eine binomische Formel (deswegen haben wir ja mit +6,25 und -6,25 erweitert.

Die binomische Formel umgekehrt anwenden und es folgt:

y = (x + 2,5)² - 18,25

Und das sind die Scheitelpunktskoordinaten (deswegen heißt diese Form ja Scheitelpunktsform), allerdings wird das Vorzeichen bei der + 2,5 gedreht, also S (-2,5 / -18,25)


Zur INfo:

MIt Scheitelpunkt (3 / 5) sähe die Gleichung so aus:

y = (x - 3)² + 5

 

[Slimshady]

Ok verstanden habe ich das jetzt Danke

Aber ist das eig die genaue Form wie man das Lernt oder wird da was anders gemacht habe die form noch nie gesehn wie du das machst Oder gibts einfach verschiedene formen?

Gruß

 

[McKilroy]

Normalerweise ist dies die Form, wie es gezeigt wird.

Das Ganze nennt sich quadratische Ergänzung.

Die quadratische Ergänzung wird auch verwendet, wenn man die Nullstellen einer Parabel bestimmen will und nicht die p/q-Formel verwenden will.

 

[sandfuss1]

Hey Slim,

die andere Möglichkeit wäre das Minimun der Funktion zu bestimmen..(in dem Falle ist das ja der Scheitelpunkt der Parabel)

Weiss jetzt nicht ob ihr Ableitungen schon hattet..

Also erste Ableitung = 0 --> x ausrechnen
danach y ausrechnen fertig...

Falls du das noch nicht hattest vergiss es..

 

[Slimshady]

Also das was Sandfuss1 schreibt kenn ich garnicht
Was eine quadratische ergänzung ist weiss ich nur habe ichs anders gelernt und zwar so:

z.B

x²+12x-28=0 l +28
y²+12x=28 l +(12/2)²
x²+12x+36=64
(x+6)² = 64 lwurzel ziehn
x+6=8 und x+6=-8
x1=2 x2=-14

In der form kenn ich das ...

 

[McKilroy]

Genau.

So benutzt man die quadratische Ergänzung um Nullstellen auszurechnen.

Und wenn du es so wie ich oben gezeigt habe, auf einer Seite benutzt, dann kannst du jede quadratische Gleichung in die Scheitelpunktsform bringen. Im Prinzip ist es die gleiche Rechnung.


Das, was Sandfuss1 geschrieben hat, brauchst du nicht kennen. Das kommt erst 2. Hälfte der 11. Klasse.