Der Flaecheninhalt eines Dreiecks berechnet sich aus A = 0.5 g h Dabei ist h die Hoehe auf der Seite g.
Bei dem Dreieck bietet es sich an, als Seite die Strecke OS_y (also den senkrechten Abschnitt auf der y-Achse) und die Hoehe auf diese Seite durch den Punkt p zu nehmen.
Die Hoehe hat dabei den Betrag der x-Komponente von P - also u.
Die Seite hat den Betrag der y-Komponente von S_y - was ich jetzt mal y nenne..
-> A = 0.5 y u
f(x) = x^3 - 3x^2 + 2.25x
f'(x) = 3x^2 - 6x + 2.25
f''(x) = 6x - 6
Die Tangente im Punkt P ist eine lineare FUnktion, die ich jetzt einfach mal t(x) = mx + n nenne..
m = f'(u) = 3u^2 - 6u + 2.25
-> t(x) = (3u^2 - 6u + 2.25) x + n
Die Tangente hat mit der Funktion f einen gemeinsamen Punkt - naemlich P(u/f(u)) - den setz ich da jetzt einfach mal ein..
u^3 - 3u^2 + 2.25u = (3u^2 - 6u + 2.25) u + n
u^3 - 3u^2 + 2.25u = 3u^3 - 6u^2 + 2.25u + n
n ist hierbei gleich unsrer y-Komponente vom Punkt S_y - weshalb ich das mal nach n umstelle..
n = y = -2u^3 + 3u^2
Das nennt man jetzt afaik "Nebenbedingung" bei dem Extremalproblem (wobei ich mir bei den Begriffen bei den Extremalproblemen nicht ganz so sicher bin^^) und das kannst du nun oben in der Gleichung fuer A einsetzen..
A = 0.5 (-2u^4 + 3u^3)
So - jetzt musst du A nach u ableiten..
dA/du = 0.5 (-8u^3 + 9u^2)
u_1 = 0; u_2 = 1.125;
Jetzt musst du noch nachweisen, dass A bei u_2 ein lok. Maximum hat - und du muesstest noch anstaendig begruenden, dass u_1 entfaellt.. Dann waerst du glaub fertig..
fu_mo
