Mathe - 12. Klasse geschlossen

[Chrisi000]

Wo ist der Abstand der Graphen f(x) und r(x) maximal?

f(x)= wurzel(3x-0,5x²)
r(x)= 3x-0,5x²

Ableitungen
f'(x)= 3 -x /2*(wurzel(3x-0,5x²))
r'(x)= 3 - x

0 = r'(x) - f'(x)
0 = (3 - x) - (3 -x /2*(wurzel(3x-0,5x²))
3 -x /2*(wurzel(3x-0,5x²)) = 3 - x | * (2*(wurzel(3x-0,5x²))
3 - x = (3 - x) *(2*wurzel(3x-0,5x²) | : (3-x)
3 - x/3 - x = 2*wurzel(3x-0,5x²)
1 = 2*wurzel(3x-0,5x²) | : 2
1/2 = wurzel(3x-0,5x²) | hoch 2
1/4 = 3x - 0,5x² | - 1/4
0 = -0,5x² + 3x - 1/4

--> p/q formel
x1= 5,91
x2= 0,08

Jedoch kann das nicht sein, denn laut der Zeichnung ist bei der x=3 der höchste Abstand.. Wo liegt der Fehler?

 

[Rodan]

Du solltest nicht durch (3-x) teilen, da x=3 ja eine erlaubte Zahl ist. In dem Moment wo du durch x-3 teilst, verlierst du aber dieses Ergebnis (Division durch Null).

Die zwei anderen Ergebnisse sind andere lokale Maximas.



Die Ergebnisse die du gefunden hast liegen jeweils zwischen den zwei äußeren Schnittpunkten. Du musst einfach früher quadrieren und dich dann mit der Gleichung 3. Ordnung auseinandersetzen.

 

[McKilroy]

Meiner Meinung nach ist der Ansatz rein formal falsch.

Normalerweise zieht man die beiden Funktionen voneinander ab und bildet so eine neue Funktion, die Ersatzfunktion.

Von dieser Ersatzfunktion rechnet man dann das Maximum aus.

Also erste Ableitung der Ersatzfunktion gleich 0 setzen.

Im Ergebnis kommt es allerdings auf's gleiche raus.

Mit der zweiten Ableitung nachweisen, dass es ein Maximum ist.

Der y-Wert der Ersatzfunktion an der Stelle x(max) ist der Abstand.



PS Bitte einmal zuerst den Definitionsbereich angeben. Bei der der ersten Funktion ist der sehr klein (0

Zur Lösung:

An der Stelle:

0 = (3 - x) - (3 -x /2*(wurzel(3x-0,5x²))

brauchst du einfach nur (3-x) ausklammern, also:

0 = (3-x) * [1 - (1/(2 * (wurzel(3x-0,5x²)))]

Dann Fallunterscheidung:

(3-x) = 0 oder [ ... ] = 0 (denn ein Produkt ist immer dann = 0, wenn einer der Faktoren = 0 ist)

(3-x) ist deine gesuchte Lösung und in der Klammer sind die anderen Lösungen, die aber nicht das Maximum sind.

Das in der eckigen Klammer hast du ja oben schon gelöst.

Ich hoffe, das reicht dir als Hilfe, ansonsten poste noch einmal.

Bitte poste auch, wenn du klar gekommen bist, damit ich weiß, dass ich nicht weiter nachsehen muss.

 

[Chrisi000]

Meiner Meinung nach ist der Ansatz falsch.

Normalerweise zieht man die beiden Funktionen voneinander ab und bildet so eine neue Funktion, die Ersatzfunktion.

Von dieser Ersatzfunktion rechnet man dann das Maximum aus

Also erste Ableitung der Ersatzfunktion gleich 0 setzen.

Mit der zweiten Ableitung nachweisen, dass es ein Maximum ist.

Der y-Wert der Ersatzfunktion an der Stelle x(max) ist der Abstand.


PS Wenn du die beiden ersten Ableitungen von einander abziehst (was ja gleichsetzen gleich kommt) und gleich 0 setzt, dann rechnest du meine Meinung nach die Stellen aus, an denen die beiden Funktionen die gleiche Steigung haben.

Komm ich nich auf dsa selbe?
Oder meinste, ich soll die beiden Funktionen voneinander abziehen bzw vereinfachen. Davon dann die Ableitung und das extrema ausrechnen?

@Rodin: Wo sollte ich deiner Meinung nach Quadrieren?

PS Wenn du die beiden ersten Ableitungen von einander abziehst (was ja gleichsetzen gleich kommt) und gleich 0 setzt, dann rechnest du meine Meinung nach die Stellen aus, an denen die beiden Funktionen die gleiche Steigung haben.

PSS Bitte einmal zuerst den Definitionsbereich angeben. Bei der der ersten Funktion ist der sehr klein (0 QUOTE]

zu PS1: okay.. bin ich mir nicht sicher zu dem Ansatz
zu PS2: Definitionsbereich hatte ich in vorheringen Aufgabenteil schon angegeben, da diese Aufgabe Teil 3 ist.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Neuer Versuch:
0 = (3 - x) - (3 -x /2*(wurzel(3x-0,5x²))
3 -x /2*(wurzel(3x-0,5x²)) = 3 - x | * (2*(wurzel(3x-0,5x²))
3 - x = (3 - x) *(2*wurzel(3x-0,5x²) | ( )²
(3-x)² = (3-x)² * 2(3x-0,5²)
9-6x+x² = (9-6x+x²) * (6x - x²)
9-6x+x² = 54x - 6x² + 6x³ - 9x² + 6x³ -x^4
9-6x+x² = -x^4 + 12x³ - 45x² + 54x
0 = -x^4 + 12x³ - 46x² + 60x - 9

Jetzt müsste ich davon die "Nullstellen" bzw Extrema ausrechnen.
Stimmt es so?

 

[McKilroy]

Bitte schau oben noch einmal nach, ich habe es mehrfach editiert.

Und ja, es kommt auf das gleiche raus. Es ist halt rein formal etwas anderes.

Schau bitte in meinem post noch einmal nach, ich habe dir die einfachst Lösung reingeschrieben.


Die Lösung mit dem Quadrieren ist auch okay, aber etwas umständlicher.

 

[Chrisi000]

Ah okay danke. Ich habs. Ich werde meins auch nochmal durchrechnen bzw zu ende rechnen. (sollte ja das selbe raus kommen) Ich mach halt immer die langen Wege . Deins ist echt einfacher, macht auch sinn. Wenn man direkt drauf kommt!
Danke euch beiden

 

[McKilroy]

0 = -x^4 + 12x³ - 46x² + 60x - 9

Jetzt müsste ich davon die "Nullstellen" bzw Extrema ausrechnen.
Stimmt es so?

Jo, stimmt auch.

1. 1. Nullstelle (x=3) durch probieren, dann Polynomdivision.

2. Gleiche Nullstelle wieder durch Probieren, dann Polynomdivision

3. Rest durch quadratische Gleichung.

Deins ist echt einfacher, macht auch sinn. Wenn man direkt drauf kommt!

Bei solchen zusammengesetzten Funktionen macht es immer mal Sinn, zu probieren, auszuklammern. Das wird später bei den e-Funktionen noch wichtiger.

 

[Chrisi000]

Jo, stimmt auch.

1. 1. Nullstelle (x=3) durch probieren, dann Polynomdivision.

2. Gleiche Nullstelle wieder durch Probieren, dann Polynomdivision

3. Rest durch quadratische Gleichung.

Ganz genau so hab ichs vor gehabt.
Dankeschön

/edit: e-Funktionen hab ich schon hinter mir, aber ich habs nich so mit dem zusammenfassen bzw ausklammern. Seh ich nicht immer sofort.

 

[McKilroy]

Danke an Rodan.

Dann mache ich hier mal zu.