Mathe 12. Klasse - Integrale mit Parameter k geschlossen

[Chrisi000]

Bestimmmmmmme k € IR so, dass die von den Graphen f und g eingeschlossene Fläche den Flächeninhalt A hat

f(x) = x^2
g(x) = -x^2 + k
A = 1

Also ich hab erstmal die Schnittstellen von f(x) = g(x)

x1/2 = +/- Wurzel aus K/2

Nun weiß ich nciht mehr weiter eig müsst ich ja das Integral von "- Wurzel K/2" zu "Wurzel K/2" machen. Desweitern könnt ich ja für das A gleich die 1 einsetzen.. aber dann?!

 

[Mercator]

eig müsst ich ja das Integral von "- Wurzel K/2" zu "Wurzel K/2"

So ähnlich! Du musst das Integral von f(x)-g(x) in den Grenzen -Wurzel K/2 bis +Wurzel K/2 bilden und dann das ganze =1 setzen. Dann das Integral auflösen und den Parameter k bestimmen.

Wenn du willst, kann ich dir die Lösung gleich mal ausrechnen.

Gruß
Mercator

 

[Chrisi000]

Also die Stammfunktion wär ja = 2/3x^3 - kx..
jetzt müsst ich einmal "wurzel K/2" einsetzen.. dass ganze - "- wurzel k/2" eingesetzt und dann aufgelöst nach k?

 

[Mercator]

Also die Stammfunktion wär ja = 2/3x^3 - kx..
jetzt müsst ich einmal "wurzel K/2" einsetzen.. dass ganze - "- wurzel k/2" eingesetzt und dann aufgelöst nach k?

Genau, das Integral lösen und da es eine Gleichung ist (Integral von f(x)-g(x) in den Grenzen ... = 1), kannst du sie nach k auflösen.

 

[Chrisi000]

okay.. wäre nett, wenn du das nebenher auch mal rechnen könntest, damit ich das richtig auflöse..

/edit: mhpf.. kriegs irgendwie nich aufgelöst

1 = [ 2/3 (Wurzel k/2)³ - k * (Wurzel k/2) ] - [ 2/3 (Wurzel -k/2)³ - k * (-Wurzel k/2) ]

 

[Mercator]

kriegs irgendwie nich aufgelöst

Ich habs zwar aufgelöst bekommen, aber nachher nichts richtiges raus.

Mmmh...bist du dir sicher, dass du die Aufgabe richtig abgeschrieben hast?

 

[Chrisi000]

Jap.. aufgabe ist richtig, habs eben nochmal kontrolliert

Vllt hab ich die Nullstellen falsch berechnet?!

 

[Mercator]

Die Nullstellen sind richtig. Wenn du meine Lösung von K≈5,04 bestätigen kannst, kann ich dir gerne meinen Lösungsweg sagen.

Will dir aber nichts Falsches erzählen, deshalb solltest du das Ergebnis vielleicht mal mit dem eines deiner Klassenkameraden vergleichen.

 

[Chrisi000]

mmh wenn man aber für k = 5,04 einsetz und dann ins integral reinhaut, kriegt man nen A von 10
oder hab ich mich getippt?

 

[McKilroy]

Ich seh das so:

Schnittpunkte habt ihr richtig berechnet.

Stammfunktion habt ihr richtig berechnet.

Da die Funktion Achsensymmetrisch ist, betrachte ich nur die Hälfte 0 bis Wurzel k/2 und setze diese Fläche = 1/2.

2/3 (Wurzel k/2)³ - k * Wurzel (k/2) = 1/2

2/3 * k/2 * (Wurzel k/2) - k * Wurzel k/2 = 1/2 (habe k²/4 aus der Wurzel rausgeholt.

-2/3 k * Wurzel k/2 = 1/2 habe abgezogen

4/9 k² * k/2 = 1/4 habe quadriert

k³ = 9/8

k = 1,04...

Wurzel k/2 = 0,72


Eingesetzt in die Stammfunktion und stimmt.

Viel Spaß

 

[Chrisi000]

mh.. danke McKilory.. und natürlich danke Mercator ..
Hast du aber auch schon clever gemacht McKilory von wegen achsensymetrie.. aber ich dachte mir sowas auch schon.. mhmh

danke

 

[McKilroy]

Ohne Verwendung der Achsensymmetrie funktioniert es genauso, ist halt nur etwas umständlicher.

Wichtig ist der Schritt des Herausholens von k²/4 aus der Wurzel (oder man muss auf der anderen Seite k als k² unter die Wurzel bringen, damit deutlich wird, dass der erste und der zweite Therm eigentlich das gleiche sind und man sie von einander subtrahieren kann. Der Rest ist dann einfach.

Ohne Verwendung der Achsensymmetrie hat man eben doppelt so viele Therme.

 

[Chrisi000]

Auf die IDee mit dem Herausholen kam ich auch. Jedoch hab ichs etwas falsch "herausgeholt".. da lag wohl mein Fehler

 

[McKilroy]

Dann mache ich hier mal dicht.

Bei Bedarf kann wieder geöffnet werden.