Stochastikaufgabe Benötige Hilfe

[Paniomania]

Aufgabe lautet:
In einer Lieferung von 20 Batterien sind 25% ungeladen (5 stück). Man entnimmt zweimal eine Batterie ohne zurücklegen und prüft sie:
A: Die 1. batterie ist geladen ; B: Die 2. Batterie ist geladen.

Berechnen Sie
P(A)
PA(B)
P(B)

P(A) müsste ja theoretisch so sein:
Die erste Batterie soll geladen sein, die zweite nicht, 25% sind ungeladen, die fallen weg, das heißt es kommen noch 15 Stück in Frage.
Dann wird nochmal gezogen, die zweite soll nicht geladen sein und es sind noch 14 in der Kiste drin.

=> 1. Zug ((2C1)*(13C1))/(15C2)

von 2 Batterien wollen wir eine geladene haben, die erste, die zweite soll ungeladen sein, Rest ist 13C1 (die eine ungeladene), insgesamt 15C2!

=> 2. Zug (2C0*12C0)/(14C0)
Das kann irgendwie nicht sein Soll 75% rauskommen beim zweiten 55,21%, beim dritten 75%)

Bitte hilfe!

 

[DragonFly44]

Ich mach das ganze hier mal mit einer einfachereren Rechnung, hoffe das ist ok:

Also beim ersten entnehmen hast du eine Wahrscheinlichkeit eine geladene zu erwischen von: 1-0.25 (25% entladene) = 0.75. => P(A)= 75%

Beim Zweiten entnehmen ohne zurücklegen hast du eine Wahrscheinlichkeit von 14/19 ~ 0.7369 eine geladene zu eriwschen ~ 73.69%, wenn die erste Geladen war ODER! eine Wahrscheinlichkeit von 15/19 ~ 0.7895 wenn die erste entladen war. P(B)= (73.69% + 78.95%) / 2 ~ 76.32% (Wohl Rundungsfehler meinerseits in der Rechnung)

Für die Wahrscheinlichkeit für B) nach A) erhält man damit 0.7369 * 0.75 ~ 0.5528 => PA(B)~55,3% (Die Fallunterscheidung fällt hier weg, da B eindeutig ist!)

DragonFly44

 

[Paniomania]

Vielen dank,
warum 1-0.25 = P(A) = 75%?
Also warum die 1?

und wieso 15/19?

Bitte um kurze Erläuterung der Zahlen zum Verständniss, dann wär ich schon zufrieden
lg
Panio

 

[DragonFly44]

Vielen dank,
warum 1-0.25 = P(A) = 75%?
Also warum die 1?

Ich habe an der Stelle die Umkehrung gebildet. Alle Wahrscheinlichkeiten zusammen müssen ja 100% ergeben. Da ich eine der Wahrscheinlichkeiten kenne (25%) kann ich von der Annahme, das es nur eine weitere Wahrscheinlichkeit gibt diese Ausrechnen. Also 100% - 25% = 75%. Da man aber nicht mit Prozentwerten rechnet, habe ich das ganze als Reale Zahl geschrieben.

und wieso 15/19?

Also: von der Aussage "B: Die 2. Batterie ist geladen." lässt sich kein Rückschluss auf die erste Ziehung machen. Diese kann entweder geladen sein, oder nicht geladen. Da man 15 Geladene am Anfang hat ergeben sich nach dem ersten Ziehen zwei Möglichkeiten. Entweder es sind 15 geladene übrig, oder es sind 14 geladene übrig. Die Wahrscheinlichkeit eine solche geladene zu ziehen beträgt dementsprechend, Restbestand geteilt durch Gesamtanzahl. Die Gesamtzahl nach dem ersten Zug sind 19 (20-1). Also entweder 15/19 oder 14/19

DragonFly44

 

[the_x3]

Edit: So, während ich das getippt habe kam sowieso bereits ne Antwort von Dragonfly. Ich posts trotzdem mal, damit die Mühe nicht umsonst war.


Warum 1? Da solltest du mal deine Unterrichtsunterlagen anschaun... aber einfach gesagt: Komplementärereignisse ergänzen sich immer zu 1. Bzw deren Wahrscheinlichkeiten.

A + Astrich = 1

Gilt immer.Genauso wie die Gesamtsumme der Wahrscheinlichkeiten immer 1 ergibt. dh du wirfst ne münze.wappen und zahl je p=0,5.ergibt dann zusammen 1. oder beim würfeln - 6 möglichkeiten mit ner chance von jeweils 1/6 ... -> 1

Im Grunde ist das nur eine etwas umständliche Art und Weise auszudrücken, dass wenn eine Batterie zu 25% Wahrscheinlichkeit ungeladen ist, das Gegenereignis, nämlich dass sie geladen ist, zu 75% Wahrscheinlichkeit der Fall sein wird...

15/19 bzw 14/19...

Du hast 5 ungeladene, 15 geladene.

Du entnimmst beim ersten Ziehen eine geladene Batterie. Bleiben übrig:
19 Batterien insgesamt, 14 davon geladen, 5 ungeladen.

Die Chance beim zweiten Ziehen wieder eine geladene zu bekommen... 14 von 19? also 14/19...

Und so geht das für alle anderen Fälle... du must halt immer berücksichtigen was du rausnimmst. Dementsprechend verändert sich der Nenner und der Zähler.

 

[Paniomania]

Okay warum 14/19 ist klar, aber warum nimmt man bei P(B) dann (14/19 * 15/19) /2 ?

 

[the_x3]

A: Die 1. batterie ist geladen ; B: Die 2. Batterie ist geladen.

Berechnen Sie
P(A)
PA(B)
P(B)

Um ehrlich zu sein bin ich mir auch nicht ganz sicher ob diese Lösung stimmt, auch wenn ich den Gedanken nachvollziehen kann.

Du suchst die Wahrscheinlichkeit von P(B)? Diese Wahrscheinlichkeit hängt davon ab ob man beim ersten Ziehen bereits eine geladene Batterie erwischt hat oder nicht. Wurde bereits eine geladene gezogen, ist die Wahrscheinlichkeit dementsprechend geringer als wenn eine ungeladene entfernt wurde.

Dh wenn du beim ersten Ziehen eine geladene Batterie entfernst, dann sieht es beim zweiten Ziehen (wofür wir uns hier interessieren) wie folgt aus:
14 geladene, 5 ungeladene => insgesamt 19
Dh die Chance auf eine geladene beim zweiten Ziehen wäre 14 von 19
=> p = 14/19

Ereignis B kann aber eintreten wenn beim ersten Ziehen eine ungeladene Batterie erwischt wurde. In dem Fall ists wie folgt:
15 geladene, 4 ungeladene => insgesamt 19
Dh die Chance auf eine geladene liegt bei 15/19

Was Dragonfly jetzt gemacht hat ... er hat den Mittelwert der beiden Wahrscheinlichkeiten genommen. Das kann aber eigentlich nicht stimmen, denn die Wahrscheinlichkeit dass man beim ersten Ziehen eine Geladene oder Ungeladene erwischt steht ja nicht 50:50 , sondern je 5/20 bzw. 15/20.

Du solltest ja auch schon PA(B) ausrechnen... das ganze wäre dann bedingte Wahrscheinlichkeit auch wieder... aber ich versuchs mal simpel über ein Baumdiagramm zu erklären. Das ich hier wieder nicht zeichnen kann
Du hast deinen Ausgangspunkt. Zwei Zweige gehn zu A und Astrich (Komplementärereignis, son schöner Strich über dem A drüber).
Das Ereignis A hat die Wahrscheinlichkeit p=0,75 ... Astrich p = 0,25.

Von A und Astrich geht nun jeweils wieder eine Verzweigung zu B und Bstrich.
Und hier haben wir bei der Verzweigung von A p=14/19 für B, und 5/19 für Bstrich. Bei der Verzweigung die von Astrich weggeht haben wir p=15/19 für B und 4/19 für Bstrich.

Klingt jetzt mords kompliziert, ist es aber nicht.

Um die Wahrscheinlichkeit für P(B) zu erhalten, muss man die Wahrscheinlichkeiten der "Äste" addieren (ich glaub formal gesehen habe ich in diesem Forum die Stochastik auf schlimmste vergewaltigt ) die zu dem gesuchten Ereignis B führen.

Dh wenn mein Gedankenkonstrukt stimmt:

P(B) = 0,75 * 14/19 + 0,25 * 15/19 = 0,75

Dh eine Wahrscheinlichkeit von 75%
Ist sogar ein recht realistischer Wert, juchu^^

Also das wäre jetzt zumindest meine Sicht der Dinge, ich denke nicht dass man das wies Dragonfly44 gemacht hat angehn kann... also der letzte schritt für die gesamtwahrscheinlichkeit, davor dürften wir ja übereinstimmen

So hoffe war halbwegs verständlich

 

[DragonFly44]

P(B) = 0,75 * 14/19 + 0,25 * 15/19 = 0,75

Mea Culpa, du hast recht... Da hab ich wohl auf die schnelle ein klein wenig zu viel vereinfacht! Meine Antwort für PA(B) stimmt aber, da es da unerheblich ist.

DragonFly44