Mathe 12.Klasse - Ebenen geschlossen

[flofu]

Hi,

Komme bei folgender Aufgabenstellung nicht weiter:

Gib die Lagebeziehung an:

1 5 0
E1: x=2 + A*6 + B*1 
3 7 3

0 5 1
E2: X=1 + C*7 + D*0
4 10 1

2 6
g: x=3 + T*7
5 11

Bin über jede Hilfe sehr dankbar,

mfg flofu

 

[linda]

Na gut, zwischen 2 Ebenen gelten folgende mögliche Beziehungen:

• E1 parallel E2
• E1 identisch E2
• E1 schneidet E2

Da die Aufpunkte verschieden sind, fällt der mittlere Fall schonmal weg.

Zwischen Gerade und Ebene gibt es folgende Möglichkeiten:

• g liegt parallel zu E
• g liegt in E
• g schneidet E

Da die Aufpunkte verschieden sind, scheidet auch hier der 2. Fall aus.

Um es genau zu berechnen, mußt Du einfach folgende Gleichungen lösen:
E1 = E2 ---> Ergebnis: Schnittgerade
E1 = g ----> Ergebnis Schnittpunkt
usw.

Wenn kein Schnittpunkt oder keine Schnittgerade existiert, dann wird 0=0 rauskommen .


HTH,
Linda

 

[mele1]

Wenn kein Schnittpunkt oder keine Schnittgerade existiert, dann wird 0=0 rauskommen .

Hieße 0 = 0 nicht unendlich Lösungen, was wiederrum bedeuten würde, dass die beiden Ebenen identisch sind?

Allerdings kann auch eine leere Menge, sprich keine Lösung bei rauskommen, was heissen würde, dass sie sich nicht schneiden und somit parallel zueinander sind.

mfg

 

[flofu]

Vielen Dank für die Hilfe.

Werde mich dann mal dranmachen die Gleichungen zu lösen.

Kann mir bitte noch einer Sagen was die "Aufpunkte" sind, die Linda meint.

 

[linda]

Eine Geradengleichung wird ja beschrieben durch:

g = a + bx

wobei x der Richtungsvektor ist, b ein Vielfaches des Richtungsvektors und a ist der Aufpunkt, also der Punkt, den Du ansteuern mußt, um auf die Gerade zu kommen. Welchen Aufpunkt Du wählst, ist generell egal, am einfachsten nimmt man halt den, für den b=0 gilt.

In Deinem konkreten Fall oben wäre das die 1. Spalte nach dem =

Edit: Stimmt mele1, hast recht Die Gleichungen können sich ja nur dann kürzen, wenn E1 identisch E2 gilt. Keine Schnittgerade ist natürlich durch die leere Menge dargestellt.


Linda

 

[flofu]

Vielen Dank

 

[McKilroy]

Dann will ich auch mal meinen Senf dazu geben:

Die von Linda genannten Aufpunkte werden auch mit "Stützvektoren" bezeichnet. Diese Stützvektoren müssen nicht identisch sein, damit die Ebenen identisch ist oder die Gerade auf der Ebene liegt.

Als Stützvektor kann ich jeden Punkt der Ebene bzw. jeden Punkt der Geraden nehmen, man hat also eine unendliche Auswahl.

Der Stützvektor der einen Ebene (oder der Gerade) muss nur auf der anderen Ebene liegen, damit die Ebenen identisch sein können.



Der Reihe nach:

Ebene - Ebene

1. Lösungsansatz)

Einfach die Ebenen gleich setzen. Wenn du etwas wie 0 = 0 rauskriegst, dann sind die Ebenen identisch. Die Lösung stimmt immer, weil jeder Punkt der einen Ebene auch ein Punkt der anderen Ebene ist.

WEnn du etwas wie 7 = 0 oder 12 = 0 rausbekommst, dann sind die Ebenen parallel. Die Lösung stimmt nie, weil es keine Punkte der Ebene 1 gibt, die Punkt der Ebene 2 sind.

Wenn du etwas wie: C = 5 D rauskriegst, dann setzt du dies in die zweite Ebenengleichung ein (die wo C und D enthalten sind) und erhälst dann durch Umformen eine Gleichung, in der nur noch D enthalten ist, dies ist dann die Geradengleichung der Schnittgeraden.

2. Lösungsansatz)

Du schaust zuerst nach, ob die Richtungsvektoren der zweiten Ebene von den Richtungsvektoren der ersten Ebene linear abhängig sind (Beide untersuchen!)

WEnn ja, dann sind die Ebenen entweder parallel oder identisch.

Dann den Stützvektor der zweiten Ebene gleich der ersten Ebene setzen und sehen, ob der Punkt auf der ersten Ebene liegt (Punktprobe).

Wenn ja, dann sind die Ebenen identisch, wenn nein, dann sind sie parallel.


Wenn schon die Richtungsvektoren nicht linear abhängig sind, dann muss es eine Schnittgerade geben. Die rechnet man dann wie oben beschrieben aus.


Gerade - Ebene

Im Prinzip genau so wie bei Ebene Ebene, nur dass man keine Schnittgerade sondern nur einen Schnittpunkt bekommt.