Mathe: Diskussion einer rationalen Funktion geschlossen

[-=[P3ac]=-]

Hallo Leute!
Muss in mathe die Rationale Funktion (x²+x-1)/x² diskuttieren und ich weiß nicht so genau ob ich das richtig machen oder ob ich nicht einen denkfehler drinnen hab!
Also: Erste und 2. Ableitung sind:

1. : (-x+2)/x³
2. : (2x-6)/x^4

sind die schon mal richtig? ich meine schon!
Jetzt gehts zu diskussion:
1) Definitionsmenge: ist meiner ansicht nach

D = R \ {0}

?? Daraus müsste ja folgen dass x= 0 eine Asymptote ist aber der Graph schaut nicht so aus!!
2)Nullstellen: Da Habe ich einfach den Nenner hergenommen und Null gesetzt. Also:

x²+x-1 = 0
x1 = 0,618 N1(0,618/0)
x2 = -1,618 N2(-1,618/0)

Das ist glaub ich richtig!

Aber jetzt gehts zu 3) Extremwerte:
Erste Ableitung Null setzen:

Wieder nur nenner genommen(richtig??):
-x + 2 = 0
x = 2 --> y = 5/4

2. Ableitung an der stelle 2 genommen: (Hoch- oder Tiefpunkt)
(2*2-6)/2^4 < 0 --> Hochpunkt

Dann noch Die Aymptoten:

lim (x²+x-1)/x² = 1 also y = 1 ???
gibts noch mehr asymptoten??

Kanns das so stimmen??

 

[Statler]

1. Ableitung bei mir:
a) Zähler: x^2*(2x+1)-(x²+x-1)*2x
Kleine Merkregel für den Zähler: NAZ - ZAN, soll heißen:
Nenner*AbleitungZähler - Zähler*AbleitungNenner
... =2x^3 + x^2 - 2*x^3 - 2*x^2 + 2x = - x^2 + 2x = x*(-x + 2)

b) Nenner zum Quadrat, also x^4

kürzen ergibt bei mir (-x + 2) / x^3; also gut

2. Abl. wird mir jetzt zuviel...

1.) Def.menge ist richtig. Bei x=0 ist eine doppelte (=quadratische) Nullstelle des Nenners, deswegen kein Vorzeichenwechsel.
Im Limes (für x-> +-0) steht dann sozusagen (-1)/0 von beiden Seiten her, weil das Quadrat ja immer positiv ist. Dh von links her müßte der Graph gegen -unendl gehen, und auch von rechts her. Also eine Polstelle (senkrechte Asymptote).

2.) Nullstellen: Du mußt natürlich den Zähler Null setzen; aber das schaut eigentlich ganz gut aus. Nimm doch einfach die Lösungsformel und setz ein (a=1, b=1, c= -1)
Ich krieg da [(-1) +- sqrt(1+4)]/2 = [1 +- sqrt5]/2; mit sqrt = square root = (Quadrat-)Wurzel
Mir sind solche Ausdrücke lieber als die Kommazahlen, weil die Kommazahlen irgendwann doch gerundet sind.

3.) Wieder den Zähler Null setzen. Ansonsten ok, (wenn Deine 2. Ableitung stimmt).
4.) ok
Weitere Asymptoten gibts m.E. nicht (außer dem Pol bei x = 0).

Grüße, Statler

 

[Helion]

ich habe die funktion mal zeichnen lassen.

mfg helion

 

[-=[P3ac]=-]

thx für eure antworten