Mathe -- e-Funktion Benötige Hilfe

[Sn4tch]

So nun könnt ich auch mal eure Hilfe gebrauchen
Und zwar muss ich eine Funktionsuntersuchung zweier e-Funktion machen.
Die erste lautet:
f(x)=e^(2x-1)-e^(x+1)

So für die Nullstellen hab ich schon erarbeitet, erste Ableitung auch:
f'(x)=2e^(2x-1)-e^(x+1)

Die muss ich jetzt für die Extremstellen = 0 setzen, also
2e^(2x-1)-e^(x+1) = 0
2e^(2x-1)=e^(x+1)
jetzt ln
ln(2e^(2x-1))=ln(e^(x+1))
logarithmusregel: ln(a*b)=ln(a)+ln(b) und ln(exp(x))=x
ln(2) + 2x-1=x+1
x=2-ln(2)

f''(2-ln2)=4e^(2*(2-ln(2))-1)-e^((2-ln(2))+1)

Zweite Ableitung lautet:
f''(x)=4e^(2x-1)-e^(x+1)
Die muss ich ja auch = 0 setzen, um die Wendestellen zu berechnen, das kann ich dann nach dem gleichen Schema wie bei den Extremstellen machen.


Die zweite Funktion lautet:
f(x)=4xe^(-x)

Erste Ableitung:
f'(x)=e^(-x)*(4-4x)

Zweite Ableitung
f''(x)=-e^(-x)*(4-4x)-4e^(-x)

Nullstellen sind auch schon fertig.
Bin wieder bei den Extremstellen -->
-4xe^(-x) = 0
(AnmerkunG: Es liegt ein Hochpunkt bei x=1 vor)

f''(x) ist wieder analog zu f'(x) = 0


Wär schön, wenn jemand von euch die Lösung dazu hat..
Gruß Sn4tch

 

[everyon]

Hallo...kurz und knapp:

2e^(2x-1)-e^(x+1) = 0
2e^(2x-1)=e^(x+1)
jetzt ln
ln(2e^(2x-1))=ln(e^(x+1))
logarithmusregel: ln(a*b)=ln(a)+ln(b) und ln(exp(x))=x
ln(2) + 2x-1=x+1
x=2-ln(2)

Bei der zweiten hast du die Ableitung falsch gemacht, da musst du die Kettenregel nehmen

 

[Sn4tch]

Ah okay ist logisch..
Hab den Wert überprüft, er stimmt.
Jetzt muss ich ja 2-ln2 in f''(x) einsetzen -->
f''(2-ln2)=4e^(2*(2-ln(2))-1)-e^((2-ln(2))+1)
Da muss ich dann auf ca. -5 kommen..
Fragt sich nur, wie ich das vereinfachen kann

 

[everyon]

4e^(2*(2-ln(2))-1)-e^((2-ln(2))+1)
=4exp(3-2ln(2)-exp(3-ln(2))
=4exp(3)/exp(2ln(2)) - exp(3)/2
=exp(3)-exp(3)/2
=exp(3)/2

Wie kommst du auf -5?

 

[Sn4tch]

Den Rechenweg kann ich voll nicht nachvollziehen..
4e^(2*(2-ln(2))-1)-e^((2-ln(2))+1)
=4exp(3-2ln(2)-exp(3-ln(2)) =4exp(3)/exp(2ln(2)) - exp(3)/2 2?
=exp(3)-exp(3)/2 e^2ln2 = e^3?
=exp(3)/2

Und -5 meinte ich als Y-Koordinate, sorry etwas verwirrend in dem Zusammenhang

btw: hab die erste Ableitung der zweiten Funktion verbesser, so stimmt sie. Die zweite hab ich noch nicht..
Edit: Zweite Ableitung auch da. Wenn die noch verbesserungswürdig ist, einfach melden

 

[everyon]

exp(3-ln(2))=exp(3)/exp(ln(2))=exp(3)/2
4exp(3)/exp(2ln(2))=4exp(3)/exp(ln(4))=exp(3), weil 2ln(2)=ln(2)+ln(2)=ln(2*2)=ln(4), bzw allgemein n*ln(x)=ln(x^n)

Die Ableitungen stimmen Wenn du jetzt die erste Nullsetzt erhälst du:
e^(-x)*(4-4x)=0; man darf durch exp(-x) teilen, da die Funktion nie 0 ist.
4-4x=0
x=1