Mathe - Extremaufgaben Benötige Hilfe

[Sn4tch]

So hab da nochmal eine Frage an euch..
Und zwar geht es um Extremaufgaben für Lk Klasse 13.

Beispielaufgabe:
Welches oben offene zylindrische Gefäß mit 1l Fassungsvermögen hat den geringsten Materialverbrauch?

Lösung:
Extremalbedingung: V(x)=A+v*h
Nebenbedingung: g*h=1000
Pi*r²*h=1000
h=1000/(Pr*r²)

A(r)=A+v*h
=Pi*r²+(Pi*2*1000)/(Pi*r)
=Pi*r²+(2000/r)

Die Funtkion in den TR eingegeben, Hochpunkt bei r=6,828
Jetzt wissen wir, wie groß r sein muss.
So weit, so gut. Das ist alles kein Problem, aber wo meine Schwierigkeit liegt, wenn kein Wert (wie in diesem Fall 1l Fassungsvermögen angeben ist).
Beispiele:

Aus einem Baumstamm mit kreisförmigem Querschnitte soll ein Balken so geschnitten werden, dass der Abfall minimal wird.

Der Querschnitt eines Kanals ist ein Rechteck mit angesetztem Halbkreis. Wähle Maße des Rechtecks so, dass bei gegebenem Umfang u des Querschnitts sein Flächeninhalt maximal wird.

Aus einem rechteckigen Stück Bleck gegebener Länge und der Breite 49cm soll eine gleich lange Röhre mit möglichst großem, rechteckigem Querschnitt hergestellt werden.

Welcher oben offene Zylinder hat bei gegebener Oberfläche das größte Volumen?


Wär schön, wenn jemand Spaß dran hat und die ein oder andere Aufgabe mal rechnet bzw. den Ansatz liefert.
Gruß Sn4tch

 

[Major]

hallo
ich bin zwar nur elender 10.klässler
aber ich würde sagen, dass du solche dinge immer nur in abhängigkeit eines bestimmten wertes berechnen kannst.
weil rein realistisch gesehen ist der zylinder mit doppeltem fassungsvermögen hald einfach doppelt so groß.....also dann r=13,656 (anee stimmt nicht weils ja quadrat ist.....aber du weißt was ich meine)

deswegen würde ich sagen, dass wenn du den wert nicht hast auch immer eine restvariable dastehen hast. kann natürlich sein, dass ich einfach noch nicht so weit mim stoff bin aber ich würs mal so sehen

mfg major

 

[Sn4tch]

der zylinder mit doppeltem fassungsvermögen hald einfach doppelt so groß.....also dann r=13,656

Genau das kann ja eben nicht sein, weil das Fassungsvermögen vorgegeben ist, 1 Liter. Also ist bei der Aufgabe der Radius wirklich 6,828cm.
Bei den anderen wird man wohl eine Abhängigkeit haben, das ist richtig.
Aber genau der Ansatz fehlt mir ja..
Gruß Sn4tch

 

[McKilroy]

Ne, man braucht keine Werte.

Bei dem Baumstamm muss man den Balken z.B. in Abhängigkeit von dem Radius r bestimmen. Und dann ist es egal, wie groß r ist.

Wenn du mal einen Kreis zeichnest und den Durchmesser einzeichnest und den Durchmesser als Diagonale des rechteckigen Balken nimmst, dann hast du deine beiden Gleichungen:

A = a * b (Fläche Rechteck)

Nebenbedingung:

d² = a² + b²

Und jetzt einfach die Nebenbedingung auflösen und in die Hauptbedingung einsetzen (wie gehabt) und dann den Extremwert ausrechnen.

Kleiner Tipp:

Bei solchen Aufgaben kann man es sich oft leichter machen, wenn man nicht den Extremwert von A ausrechnet sondern den Extremwert von A². Denn wenn A maximal ist, dann ist auch A² maximal und umgekehrt. Dann musst du nicht mit einem Wurzelausdruck rechnen.

Und ich würde hier auch einfach ausrechnen, wann die Fläche des Rechtecks maximal ist, denn dann ist die Fläche des Abfalls minimal. Ist meistens leichter zu rechnen.

Ansonsten musst du halt bei der Hauptbedingung die Fläche des Rechtecks von der Fläche des Kreises abziehen.

Minimal wird der Abfall übrigens, wenn das Rechteck ein Quadrat ist.

Also a = b = 0,707 * d

 

[Sn4tch]

Ahhh okay, du hast mir echt geholfen.
Mag es sein, dass du ein richtiger Pro in Mathe bist?
Hab so das Gefühl, weil du fast immer hier hilfst.
Auf jeden Fall haste meinen Respekt!
Gruß Sn4tch