Mathe - Stammfunktion

[Jinz0]

Haben gerade die Substitutionsregel gelernt.

Nun sollen wir 2 Stammfunktionen berechnen und ich denke mal da müssen wir diese Regel anwenden. Aber i-wie bekomme ich die Stammfunktion nicht raus.

Ich schreibe die jetzt einfach mal ohne diese Zeichen was davor kommt ... kA wie das gerade heißt.

1. (x-1) * e^((x^2)-2)

2. x / (x^2 + k^2)

So davon brauche ich jetzt die Stammfunktionen ... ich komme da nicht drauf^^

Danke schonmal!

 

[DOcean]

zu 1.)
Probier mal in 2 Schritten erst das e^ ersetzen und dann das in der Klammer vorne auch noch ersetzen

zu 2.)
alles unter der Klammer mal ersetzen...

 

[McKilroy]

Das erste ist in meinen Augen ein klarer Fall von Produktintegration Satz 1.

Bei mir auf Seite 160 im Buch Mathe Leistungskurs.



Das zweite kann man durch Substitution lösen, da das obere durch erweiterung die Ableitung der unteren Funktion wird.

 

[Jinz0]

Das zweite kann man durch Substitution lösen, da das obere durch erweiterung die Ableitung der unteren Funktion wird.

Kannst du mir das mal genauer erklären ... weiß nicht wie ich das machen soll.

Und beim oberen Produktintegration? Wir haben nur partielle Integration ... ist das das gleiche?

 

[McKilroy]

Versuchen wir es mal, aber die Zeichen sind etwas schwierig:



Die Funktion lautet f(x) = x / (x² + k²)

wir müssen den Scheiß unten ersetzten und machen als z draus:

z = x² + k²

dann ist z' = 2x

Wir müssen jetzt die Ausganggleichung so ergänzen, dass oben 2x steht! Denn oben brauchen wir ja die Ableitung von der unteren!

Also wird daraus:

f(x) = 2 x / 2 (x² + k²)

Wir haben oben und unten mal 2 genommen.

Wenn wir jetzt die Substitution machen, so lautet die Gleichung:

f(z) = 1/2z

Das Itegral von 1/2z ist F(z) = 1/2 * ln(z) oder 0,5* ln (z)

Jetzt die Substitution rückgängig machen:

F(x) = 0,5 * ln (x² + k²)

Fertig


Man könnte auch anstatt die Substitution rückgängig zu machen, mit F(z) weiterrechen, allerdings dann mit neuen Grenzen.

aus den Grenzen a und b für das Integral von x

werden die Grenzen (a² + k²) und (b² + k²).

Also einfach die Grenzen für x in die Gleichung für z einsetzen, also in die Gleichung die substituiert wird x² + k²

Ich hoffe, du blickst durch, ist eigentlich ganz einfach.

 

[Jinz0]

Ahh okay danke ... ja ich blicke durch. Bin nur nicht auf den Schritt gekommen mit 2 zu erweitern.

Und hier komme ich einfach nicht auf die Stammfunktion (x-1) * e^((x^2)-2)

Hab schon so lange rumgerechnet aber da klappt nix.
Mit Substitution komm ich da ja nicht weiter.
Habe schon die Klammer aufgelöst und denn einen Teil dann mit partieller Integration versucht auszurechnen.

edit/ Die Ableitungen von der Funktion brauch ich auch noch (f(x) = x / (x² + k²)) da ich die Extrempunkte auch berechnen muss -.-

Habe es schon versucht aber weiter bin ich nicht gekommen ...

f'(x)= (x^2 + k^2 - 2x^2 / (x^2 + k^2)^2
= (-x^2 + k^2) / (x^2 + k^2)^2

und jetzt?^^

 

[Override]

also zur ableitung:

[x/(x²+k²)]' = (2x²-x²-k²)/(x²+k²)² = (x²-k²)/(x²+k²)²= [(x+k)(x-k)]/(x²+k²)² dann sind extrempunkte bei -k und k

und zur 1. weiß nicht ob meine lösung stimmt, is schon ein paar monate her dass ich das hatte ( aber als übung fürs abi nicht schlecht )
int steht für integral
int(x-1)e^x²-2

mit 2 erweitern dann steht die ableitung des exponenten da:
1/2 int(2x-2)e^x²-2 mit 1/2 wieder ausgleichen, dann x²-2 durch t ersetzen und 2x-2 durch dt:

1/2 int e^t dt = 1/2 [e^t]
wichtig ist, die grenzen noch zu verändern wie der vorredner schon erklärt hat ich hoffe es stimmt so

 

[Jinz0]

und 2x-2 durch dt:

1/2 int e^t dt = 1/2 [e^t]

den schritt verstehe ich nicht so ganz ... ich kann das doch nicht einfach ersetzen ... ich mein dx steht da ja sowieso immer

und die stammfunktion soll jetzt also 1/2 * e^(x^2-2) sein? Das stimm doch dann aber nicht so ganz oder ? Weil das abgeleitet ergibt nicht
(x-1) * e^(x^2-2)

 

[McKilroy]

Ne, die Funktion ist nicht so einfach zu integrieren, weil das (x-1) nicht zu dem Exponenten passt.


Man kann die Funktion natürlich unterteilen:

x * e^((x^2)-2) - 1 * e^((x^2)-2)

Dann kann man den ersten Teil wieder sehr schön mit Substitution erledigen, aber der zweite Teil macht dann die Probleme.

Ich schätze mal, der Lehrer hat sich vertan oder einfach nicht gedacht, was er euch damit antut.

denn:

\int e^{x^2}\,dx = e^{x^2}\left( \sum_{j=0}^{n-1}c_{2j}\,\frac{1}{x^{2j+1}} \right )+(2n-1)c_{2n-2} \int \frac{e^{x^2}}{x^{2n}}\;dx \quad \mbox{wenn } n > 0,

wobei c_{2j}=\frac{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2j-1)}{2^{j+1}}=\frac{2j\,!}{j!\, 2^{2j+1}} \ .

siehe auch in der Mitte von:

Formelsammlung Mathematik: Unbestimmte Integrale exponentieller Funktionen − Wikibooks

Vielleicht habe ich aber auch nur etwas an deiner Beschreibung der Funktion falsch verstanden.

Wenn da z.B. im Exponenten x²-2x stände anstatt x²-2, dann wäre es einfach, weil dann die Ableitung von x² - 2x = 2x - 2 wäre und das entspricht 2 * (x-1) und passt zu dem Klammerausdruck vorne.

 

[Override]

hm.. wennes x²-2x heißen würde wär es logischer ja
hätt gedacht ob da bei der ableitung noch ne zahl dabei steht sei egal.. aber naja..

 

[Jinz0]

Ja es heißt x²-2x ... lehrer hat das heute auch im unterricht bemerkt. Ist ein Druckfehler im Buch anders konnte er es sich auch nicht erklären.
Okay Danke für eure Hilfe ... hat sich damit dann erledigt

 

[McKilroy]

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